Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Identificar as afirmações verdadeiras

b ) A união de bolas é um conjunto aberto.

Passo 1

E aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão precisamos avaliar a seguinte afirmação:

“A união de bolas é um conjunto aberto.

E aí, será que é verdade?!

Um detalhe importante que devemos notar aqui é que a afirmação não revela se estão sendo unidas bolas abertas ou fechadas. Isso significa que, para a afirmação ser verdadeira, ela precisa atender todos os casos (bolas abertas, bolas fechadas, etc...).

Massa!

Então vamos buscar verificar se ela é verdadeira pro caso mais improvável, se isso for verdadeiro então a afirmação deverá ser verdadeiro para os outros.

Vem com a gente 😊

Passo 2

Bom, a primeira pergunta que precisamos nos fazer é qual a união de bolas que mais pode complicar essa informação. Se tivermos a união de duas bolas fechadas, parece ser um caso complicado, pois na bola fechada o elemento pertence ao conjunto.

Ou seja, em um conjunto do tipo:

U = 3,5

Há bola fechada tanto em 3 como em 5 , pois esses pontos pertencem a esse intervalo.

Agora que já entendemos esse conceito, vamos pensar na união de duas bolas fechadas.

Se tivermos os intervalos:

U = 3,5

V = [ 5,7 ]

Unindo esses dois conjuntos, segundo a afirmação do enunciado, a união das bolas fechadas no ponto 5 deveria resultar em uma bola aberta nesse ponto. Porém, quando fazemos:

U ∪ V = 3,5 ∪ [ 5,7 ]

= U ∪ V = 3,7

Ou seja, o ponto 5 pertence ao intervalo. É como se tivéssemos uma bola aberta nele, logo a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.