Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

Ver Teoria

Enunciado

Verificar quais dos seguintes conjuntos são conexos

a )   U = { x , y ∈ R 2   : 2 x 2 + 5 y 2 ≤ 10 }

Passo 1

Fala aí gente, tudo na paz com vocês?

Então, nessa questão recebemos o seguinte conjunto:

U = { x , y ∈ R 2   : 2 x 2 + 5 y 2 ≤ 10 }

Ou seja, é um conjunto cujos pontos ( x , y ) são definidos pela equação:

2 x 2 + 5 y 2 ≤ 10

Precisamos verificar se esse conjunto é conexo.

Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção. Isso significa que o conjunto não pode ser separado em pedações desconectados.

Pra verificarmos isso, tem um bizu muito legal. Vamos desenhar a região no plano R 2 e verificar se para quaisquer dois pontos escolhidos conseguimos traçar um caminho entre eles que esteja todo contido dentro da região. Se isso acontecer, o conjunto é conexo, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Vimos que o conjunto U é definido por:

2 x 2 + 5 y 2 ≤ 10

Vamos tentar deixar essa equação com a cara de alguma região que nós conhecemos.

2 10 x 2 + 5 10 y 2 ≤ 1

⇒ x 2 1 / 5   + y 2 1 / 2   ≤ 1

Essa equação nos lembra a equação da região interna de uma elipse:

x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1

No nosso caso, a elipse está em pé, o eixo maior vale:

b = 2 2

E o menor:

a = 5 5

Assim, podemos esboçar a região como:

Perfeito!

Passo 3

Agora que já esboçamos a nossa região, vamos pensar sobre aquilo que comentamos no passo 1 . Existe algum par de pontos que não seja possível traçar um caminho dentro da nossa região?

Não né?! A região interna da elipse não tem nenhum pedaço descontectado.

Logo, concluímos que o conjunto U é um conjunto conexo.

E aí, curtiram? Até a próxima 😊

Resposta

Conexo.