Exercícios Resolvidos de Introdução a Conjuntos

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Enunciado

Verificar quais dos seguintes conjuntos são conexos

b )   V = x , y ∈ R 2 :   - 1 2 ≤ x ≤ 1 2

Passo 1

Oiee, tudo tranquilo por aí?

Então, nessa questão recebemos o seguinte conjunto:

V = x , y ∈ R 2 :   - 1 2 ≤ x ≤ 1 2

Ou seja, é um conjunto cujos pontos ( x , y ) são definidos pela inequação:

- 1 2 ≤ x ≤ 1 2

Precisamos verificar se esse conjunto é conexo.

Um conjunto conexo é aquele que não pode ser separado em dois conjuntos abertos disjuntos, ou seja, que não tem intersecção. Isso significa que o conjunto não pode ser separado em pedações desconectados.

Pra verificarmos isso, tem um bizu muito legal. Vamos desenhar a região no plano R 2 e verificar se para quaisquer dois pontos escolhidos conseguimos traçar um caminho entre eles que esteja todo contido dentro da região. Se isso acontecer, o conjunto é conexo, beleza?

Vamo nessa!

Passo 2

Temos que o nosso conjunto V é definido por:

- 1 2 ≤ x ≤ 1 2

Ou seja, o y está compreendido em todos os reais e x limita-se entre os dois valores acima. Isso representa uma região plana infinita no R 2 .

Excelente!

Passo 3

Vamos agora identificar se essa região representa um conjunto conexo ou não.

De cara a gente já pode perceber que ela não possui nenhum pedaço desconectado.

Além disso, se escolhermos dois pontos quaisquer dentro dessa região, sempre é possível traçar um caminho (que não precisa ser uma reta) que pertence à região.

Assim, concluímos que essa região é conexa.

Valeu galerinha 😊

Resposta

Conexa.