Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

UNICAMP-Questão 1 - P2.2012

Um bloco de massa m desliza sem atrito sobre um plano inclinado que faz um ângulo θ = 30 ° com a horizontal e tem uma mola fixa no final da rampa. O bloco é solto de uma posição inicial tal que a distância entre a ponta livre da mola e a face do bloco é L . Quando o bloco bate na mola, um dispositivo é acionado conectando o bloco na mola. O bloco comprime a mola até um valor máximo igual a L , quando a velocidade instantânea do bloco torna-se zero. Considere um eixo x ao longo do plano inclinado no sentido descendente e com sua origem na posição da ponta livre da mola quando ela não está deformada. Determine, em função dos parâmetros fornecidos e da aceleração da gravidade g no local:

  1. A frequência angular do movimento harmônico simples que o bloco executa após conectar-se à mola.
  2. A posição x 0 na qual a velocidade do bloco é máxima.
  3. A posição x m a x mais alta que o bloco alcança após conectar-se à mola.

Passo 1

Vamos, primeiramente, escrever a equação diferencial associada ao bloco:

Bom, quais são as forças que atuam sobre o bloco?

As forças que atuam sobre o bloco são a força peso e a força elástica.

Então, pela segunda lei de Newton:

m a = P + F e l  

No entanto, como estamos lidando com um plano inclinado, a força peso terá apenas uma componente (lembra disso em mecânica?(: ):

P = P = m g s e n θ

E a força elástica é:

F e l = - k x

Logo, agora se importando apenas com os módulos:

m a = - k x + m g s e n θ

Sendo a = x ¨ :

m x ¨ = - k x + m g s e n θ

m x ¨ + k x = m g s e n θ

x ¨ + k m x = g s e n θ

θ = 30 °

x ¨ + k m x = g 2

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Passo 2

a)

Aqui a questão pede a frequência angular. A gente sabe que a frequência angular aparece, elevado ao quadrado, na nossa EDO como o termo que acompanha o x :

x ¨ + ω 0 2 x = 0

Logo:

ω 0 2 = k m ω 0 = k m

Só que a gente não sabe quem é k ! Não foi dado no problema. HUUM, vamos ter que pensar um pouco aqui.

Bem, o enunciado diz que o bloco estava afastado por uma distância L da origem estabelecida na figura, e que, depois que ele toca na mola, o mesmo ainda se afasta L na direção negativa de x .

Por isso a gente pode montar a figura:

O valor do cateto do triangulo é esse graças ao valor de θ = 30 . Logo, sabemos que o o bloco saiu de uma H = L 2 + L 2 = L para uma altura zero. Então vamos aplicar a conservação da energia:

No início havia apenas energia potencial gravitacional, e no fim passou a ter apenas energia potencial elástica, ou seja:

m g L = k L 2 2

k = 2 m g L

Logo:

ω 0 = 2 g L

Passo 3

b)

Bem, após a conexão com a mola, o bloco vai passar a oscilar em torno do ponto 0 determinado pela figura da questão com uma amplitude A .

Quando o bloco atinge os seus extremos de oscilação, A   ou - A , a sua velocidade é zero, pelo que sabemos do estudo dos MHS, logo, nesses pontos, a energia é toda potencial elástica.

E quando ele passa pelo ponto 0 , como não há deslocamento x , a sua velocidade é máxima, pois nesse caso a energia é toda cinética.

Logo, o ponto para o qual a velocidade é máxima é o ponto x 0 = 0 .

Passo 4

c)

Aqui a gente pode fazer de uma forma muito simples, usando de novo a conservação da energia. Quando o bloco está na posição mais baixa, com a altura vertical 0 , a sua energia é toda elástica. Como a energia se conserva, quando ele estiver na altura máxima, a mesma valerá:

h m á x = L s e n 30 + x s e n 30 = L 2 + x 2

Onde x vai ser o valor da elongação. Logo, a energia no segundo instante será a soma da energia potencial gravitacional mais a energia potencial da mola. Por conservação da energia mecânica:

k L 2 2 = m g h + k x 2 2

k L 2 2 = m g 2 L + x + k x 2 2

k L 2 = m g L + m g x + k x 2

k x 2 + m g x + m g L - k L 2 = 0

x 2 + m g k x + L k m g - k L = 0

Resolvendo a equação em x e lembrando do valor de k :

x = L 4 - 1 + 10

Logo, a altura máxima é:

h m á x = L 1 2 + 1 2 . 1 4 - 1 + 10 = L 3 8 + 10 8

Resposta

a)

ω 0 = 2 g L

b)

x 0 = 0

c)

L 3 8 + 10 8

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