Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Oscilações Forçadas e Ressonância

Um bloco de massa m oscila preso a uma mola, de constante k e comprimento natural l 0 na presença de um vento, cujo o efeito pode ser modelado como uma força constante:

  1. Escolha um sistema de coordenadas pra descrever esse movimento e diga onde está a origem. Usando esse sistema, obtenha a posição de equilíbrio do bloco.
  2. Escreva a equação diferencial desse movimento supondo que não haja nenhum amortecimento.
  3. Escreva a solução geral da equação acima para o caso f = 0 .
  4. Escreva a função que descreve o movimento deste bloco , para f > 0 , supondo que em t = 0 a mola está com o comprimento natural e o bloco em repouso.

Passo 1

a):

Bom, vamos chamar de x 0 a posição na qual a mola fica com o seu comprimento inicial l 0 . Assim:

x 0 = l 0

Agora vamos considerar sendo essa a origem do novo sistema de coordenadas. Assim, os valores de x pra esse novo sistema são:

x = x ' - x 0 = x ' - l 0

Onde x ' é referente ao antigo sistema. Show? Bom, só que aquilo ali encima é a elongação de uma mola. Então a força elástica pode ser escrita assim:

k x ' - l 0 = k x = F e l

Show!

E como achar a posição de equilíbrio, x e q ?

É só igualar os módulos das forças que atuam no bloco. Ou seja:

F e l = f

‖ k x e q ‖ = ‖ - f ‖ → x e q = f k

Mas qual o sinal que vamos por ali? Bem, como a força aponta na direção negativa de x , graças ao sinal que está na frente da força, é de se esperar que a posição de esteja antes do comprimento natural da mola, isso é, da nova origem.

Como vai estar antes da origem, vai ser negativo:

x e q = - f k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Vamos tirar a equação diferencial a partir da segunda Lei de Newton:

- f - k x = m a

m a + k x = - f

a = x ¨

m x ¨ + k x = - f

x ¨ + k m x = - f m

ω 0 = k m

x ¨ + ω 0 2 x = - f m

Passo 3

c):

Para o caso f = 0 , a equação diferencial vira uma EDO homogênea:

x ¨ + ω 0 2 = 0

Então, a solução vai ser a solução de um MHS:

x t = A c o s ( ω 0 t + φ )

Passo 4

d):

Bom, se você lembrar de Cálculo 2, vai saber que essa equação diferencial é uma EDO não homogênea. Então, a solução é dada por:

x t = x h t + x p t

Bom, a solução da equação homogênea é dada pelo item anterior:

x h t = A c o s ω 0 t + φ

E a solução particular a gente acha assim:

Damos um chute pra x p . Como a força é constante, a solução também:

x p = C

Então:

x p ¨ + x p ω 0 2 = - f m

C ω 0 2 = - f m

C . k m = - f m

C = - f k = x p

Então a solução é dada por:

x t = A c o s ω 0 t + φ - f k

Precisamos achar A E φ . Usando as condições:

x 0 = 0

x ˙ 0 = 0

Então:

x 0 = A c o s φ - f k = 0   → A c o s φ = f k

E:

x ˙ t = - ω 0 A s e n ω 0 t + φ

x ˙ 0 = ω 0 A s e n φ = 0

s e n φ = 0

φ = π ,   2 π ,   3 π ,   4 π …

Beleza, já sabemos que a fase é um múltiplo inteiro de π .  

Só que, como f e A são positivos:

Ac os ⁡ n π = f k

cos ⁡ n π = f k A > 0 → cos ⁡ n π > 0

Então:

c o s ⁡ ( n π ) = c o s ⁡ ( 2 π ) = c o s ⁡ ( 0 )

Então:

A c o s 0 = f k → A = f k

Assim:

x t = f k cos ⁡ k m t - f k

Resposta

a):

x = x ' - x 0 = x ' - l 0

x e q = - f k

b):

x ¨ + ω 0 2 x = - f m

c):

x t = A c o s ( ω 0 t + φ )

d):

x t = f k cos ⁡ k m t - f k

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas