Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Oscilações forçadas e Ressonância

Um microscópio de força magnética usa a alta sensibilidade de uma haste micrométrica a variações de força para medir o gradiente de força magnética em uma região.

O movimento de oscilação da extremidade da haste se dá na direção O Z perpendicular a haste, como ilustra a figura, e tem uma frequência angular própria ω 0 . Para simplificar a questão, consideraremos a equação do movimento da extremidade da haste, sem força externa, da seguinte forma: z ¨ + ω 0 2 z = 0 . Um mecanismo permite excitar a haste com uma força de amplitude F → = F 0 cos ⁡ ω t z ^ . A frequência angular ω é um pouco inferior a frequência angular própria da haste.

  1. Escreva a equação diferencial de movimento do oscilador harmônico forçado. Considere que m é a massa efetiva haste (massa em movimento durante as oscilações).
  2. Escreva a solução da equação homogênea, a solução particular da equação inomogênea e a solução geral da equação inomogênea.
  3. Suponha A PARTIR DE AGORA que uma força externa ADICIONAL atua sobre a haste. Como varia a frequência de ressonância se esta força adicional for tipo H → = h z z ^   h > 0 ?
  4. Para uma excitação a uma frequência angular ω inferior a ω 0 , como varia (qualitativamente) a amplitude com a presença da força H → ?

Passo 1

a)

A equação vai ser semelhante aquela do oscilador sem a força externa. A forma geral da equação é, com uma força externa f t ,

m x ¨ + c x ˙ + k x = f t

Aquela da equação está com a segunda derivada sem a massa para isso vamos dividir essa equação pela massa.

x ¨ + c m x ˙ + k m x = f t m

Nessa questão, não temos amortecimento, assim, a equação não vai ter o termo c x ˙ . Na do enunciado, o lado esquerdo já foi dado, o lado direito vai ser a força externa divida pela massa

z ¨ + ω 0 2 z = F m = F 0 m cos ⁡ ω t

O vetor z ^ só indica que é no eixo   z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Para a solução da equação homogênea devemos fazer como fazemos para o MHS. A equação auxiliar que fica

r 2 + ω 0 2 = 0

Resolvendo a equação de segundo grau vamos achar

r = ± ω 0 i

Desse jeito temos um amortecimento subcrítico com

α = 0

β = ω 0

achando a seguinte solução da equação homogênea

z h t = e α t c 1 cos ⁡ β t + c 2 sen ⁡ β t

z h t = e 0 t c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t

z h t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t

Passo 3

Lembra de cálculo? Quando temos uma função seno ou cosseno do lado direito da equação inomogênea, considerando ω ≠ ω 0 solução da particular fica

z p t = A 1 cos ⁡ ω t + A 2 sen ⁡ ω t

A primeira e segunda derivada, em relação ao tempo, ficam

z ˙ p t = - A 1 ω sen ⁡ ω t + A 2 ω cos ⁡ ω t

z ¨ p t = - A 1 ω 2 cos ⁡ ω t - A 2 ω 2 sen ⁡ ω t

Substituindo na equação inomogênea vamos ter

z ¨ + ω 0 2 z = F 0 m cos ⁡ ω t

- A 1 ω 2 cos ⁡ ω t - A 2 ω 2 sen ⁡ ω t + ω 0 2 A 1 cos ⁡ ω t + A 2 sen ⁡ ω t = F 0 m cos ⁡ ω t

ω 0 2 A 1 - ω 2 A 1 cos ⁡ ω t + ω 0 2 A 2 - ω 2 A 2 sen ⁡ ω t = F 0 m cos ⁡ ω t

O coeficiente do cosseno e do seno devem ser iguais nos dois lados da equação, resultando no sistema

ω 0 2 A 1 - ω 2 A 1 = F 0 m ω 0 2 A 2 - ω 2 A 2 = 0

Da primeira equação vamos ter

A 1 = F 0 m ω 0 2 - ω 2

e da segunda equação teremos

A 2 = 0

Então a solução da particular fica

z p t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

Passo 4

A solução geral da equação fica

z t = z h t + z p t

z t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t + F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

Passo 5

c)

Agora a força externa passa a ser F → + H →

z ¨ + ω 0 2 z = F + H m = F 0 m cos ⁡ ω t + h m z

z ¨ + ω 0 2 - h m z = F 0 m cos ⁡ ω t

Essa equação é parecida, mas a frequência de ressonância vai ser

ω n = ω 0 2 - h m

Na teoria vimos que basta dividir o que multiplica por z pela massa e colocar dentro da raiz, mas nessa forma a divisão pela massa já foi feita, então só precisamos colocar na raiz.

Como h é positivo a frequência vai diminuir, já que pela mesma lógica a frequência de ressonância inicial é ω 0

Passo 6

d)

A frequência da força é levemente menor que a frequência de ressonância. Colocando a força H → a frequência de ressonância diminui, o que faz a frequência da força externa se aproximar da ressonância, fazendo assim amplitude aumentar

Resposta

  1. z ¨ + ω 0 2 z = F m = F 0 m cos ⁡ ω t
  2. z h t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t
  3. z p t = F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

    z t = c 1 cos ⁡ ω 0 t + c 2 sen ⁡ ω 0 t + F 0 m ω 0 2 - ω 2 cos ⁡ ω t

  4. Diminui
  5. Aumenta

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