Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

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Enunciado

No sistema bloco-massa da figura, o bloco possui uma massa de 2,0   k g e a mola possui massa desprezível. O sistema está sobre uma superfície sem atrito que faz um ângulo de 30 ° com a horizontal.

  1. Sabendo que quando o sistema está em equilíbrio estático a mola sofre uma elongação de 5   c m , calcule a constante k da mola.
  2. Em seguida, a mola é puxada mais 4   c m e depois solta em t = 0 . Encontre a frequência angular ω e o período T .
  3. Determine a equação de movimento, a velocidade e a aceleração.

Se necessário use g = 10   m / s 2 e π = 3 .

Passo 1

a)

Quando o bloco está em equilíbrio, a força da mola equilibra o peso na direção do plano inclinado:

Então:

P s e n θ = k x

k = P s e n θ x = 2.10 s e n 30 5 x 10 - 2 = 10 5 x 10 - 2 = 200 N / m

Passo 2

b)

Ai vem um macete: A frequência angular só depende da constante da mola e da massa do bloco. Logo:

ω 0 = k m = 200 2 = 10 r a d / s

E o período:

ω 0 = 2 π T   → T = 2 π ω 0 = 2.3 10 = 0,6 s

Passo 3

c)

Vamos montar a EDO responsável pelo movimento. As forças que agem sobre o bloco são a força peso, no caso a sua componente na direção do plano, e a força elástica. Logo:

m a = - k x - m g s e n θ

O sinal do peso é negativo devido ao eixo que arbitrado na figura. Logo:

m x ¨ = - k x - m g s e n θ

m x ¨ + k x = - m g s e n θ

x ¨ + k m x = - g s e n θ

Bo resolver isso como a gente aprendeu a resolver uma EDO. Vamos resolver a equação homogênea primeiro:

x ¨ + k m x = 0

E equação relacionada será:

r 2 + k m = 0   → r = ∓ k m i

Como r é complexo, a solução da homogênea será:

x h = A c o s k m t + B s e n k m t

E a solução particular será:

x p = C

Onde C é uma constante. Logo:

C ¨ + C k m = - g s e n θ

C = - m g s e n θ k = - 2.10 . 1 2 200 = - 1 20

Logo:

x = x h + x p = A c o s k m t + B s e n k m t - 1 20

Agora vamos parra as condições de contorno. Vamos considerar como a nossa origem o ponto de equilíbrio do sistema. Então, o deslocamento inicial será x = - 4 . 10 - 2 . Então, para t = 0 :

x 0 = - 4 . 10 - 2 :

- 4 . 10 - 2 = A c o s 0 - 1 20   → A = - 0,04 + 1 20 = 0,01

E como o bloco parte do repouso, v 0 = 0 .   Derivando a expressão acima e substituindo os valores:

x ' = - k m A s e n k m t + k m B c o s ( k m t )

t = 0 :

0 = k m B c o s 0 → B = 0

Logo a solução é:

x = 0,01 cos ⁡ k m t - 1 20 = 0,01 cos ⁡ 10 t - 1 20

Então a velocidade será dada por x ˙ :

x ˙ t = - 0,1 s e n ( 10 t )

E a aceleração será dada por x ¨ :

a = x ¨ t = - cos ⁡ 10 t

Resposta

a)

200 N / m

b)

0,6 s

c)

x t = 0,01 cos ⁡ 10 t - 1 20

v t = x ˙ t = - 0,1 s e n 10 t

a t = x ¨ t = - cos ⁡ 10 t

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