Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Escrever a Tag aqui (nome do capítulo IGUALZINHO), Outra tag, Mais uma tag

Um oscilador harmônico com amortecimento γ < 2 ω 0 = 20   r a d / s está em repouso na posição de equilíbrio quando é submetido a uma aceleração senoidal a ( t ) = a 0 s e n ( Ω t ). Equação de movimento do tipo x ¨ +   γ x ˙ + ω 0 2 x = a ( t ) .

a) Sendo γ = 5   s - 1 , qual a frequência da aceleração para que a amplitude final de oscilação (regime estacionário, t → ∞ ) seja máxima?

b) Mantendo-se a frequência anterior e reduzindo-se o amortecimento para γ   =   0,002 / s , qual o aumento relativo da amplitude de oscilação final?

c) Qual o período do batimento que surge no início do movimento se Ω   =   9   r a d / s e γ ≪ ω 0 ?

d) Encontre a função que descreve o movimento em função do tempo, x ( t ) , durante o regime transitório com γ ≪ ω 0 .

Passo 1

Para que a amplitude seja máxima, a frequência da aceleração deve ser igual à frequência resultante do sistema. Pelo o enunciado, temos:

  Ω r e s u l t a n t e = ω 0 2 - γ 2 2 = 10 2 - 5 2 2 = 9,35 r a d / s

Assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Vamos primeiro calcular a amplitude para o caso inicial:

à ω = F 0 m ω n 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Como F 0 m = a 0 :

à ω = a 0 ω n 2 - Ω 2 2 + γ 2 Ω 2

Para ω n = 10 ,   Ω = 9,35   e   γ = 5 :

à 9,35 = a 0 10 2 - 9,35 2 2 + 5 2 9,35 2 = a 0 5 2 10 2 = 0,02 1 a 0

E no segundo caso, quando γ = 0,002 :

à 9,35 = a 0 10 2 - 9,35 2 2 + 0,002 2 9,35 2 = 0,079 a 0

Assim, o aumento relativo é de:

k = 0,079 a 0 0,02 a 0 = 3,97

Ou seja, a amplitude foi aumentada em aproximadamente 3,97 vezes.

Passo 3

c) A frequência angular do batimento será dada por:

ω b a t = ω 0 - Ω = 10 - 9 = 1 r a d / s

Usamos ω 0 , já que a constante de amortecimento é muito menor que ω 0 .

Assim, o período será dado por:

T = 2 π ω b a t = 2 π 1 = 2 π   s

Passo 4

d)

Se o regime é transiente, a solução terá uma parte homogênea, como vimos no nosso capítulo:

x t = x h t + A ( ω ) c o s ( ω t + φ )

Pra achar a equação da solução homogênea, a gente deve seguir aquele velho passo a passo: Primeiro calcular o , descobrir qual é o tipo de solução(supercrítico, crítico ou subcrítico) e aplicar as condições de contorno.

E quais são as condições contorno? Bom, o enunciado disse que o corpo estava em repouso na posição de equilíbrio. O enunciado não disse qual era a posição de equilíbrio, então vamos assumir x 0 = 0 :

x 0 = 0

x ˙ 0 = 0

Calculando o ∆ :

∆ = γ 2 - 4 ω 0 2

Como o enunciado disse que γ ≪ ω 0 , o sinal do acima será negativo. Assim, o regime é o subcrítico.

Passo 5

Bom, com isso a solução homogênea terá o formato:

x h t = A - γ t 2 cos ⁡ ω 0 t + φ 1

E a solução particular? Essa corresponde ao regime permanente e é dada por:

x t p = A Ω c o s ⁡ ( Ω t + φ 2 )

Onde:

A Ω = a 0 ω 0 2 - Ω 2 2 + γ 2 ω 2

Então:

x t = x h t + x p t = A - γ t 2 cos ⁡ ω 0 t + φ 1 + A Ω c o s ⁡ ( Ω t + φ 2 )

Agora vamos usar as condições de contorno: x 0 :

x 0 = A cos ⁡ φ 1 + A Ω cos ⁡ φ 2 = 0

Ambas as soluções precisam ser nulas( afinal de contas, no início não havia o efeito da força externa, o corpo se encontrava totalmente parado), então:

cos ⁡ φ 1 = 0 →   φ 1 = π 2

cos ⁡ φ 2 = 0 →   φ 2 = π 2

Assim:

x t = A - γ t 2 cos ⁡ ω 0 t + π 2 + A Ω c o s ⁡ ( Ω t + π 2 )

Passo 6

Agora, derivando a solução:

x ˙ t = - γ 2 A - γ t 2 cos ⁡ ω 0 t + π 2 - ω 0 A - γ t 2 s e n ω 0 t + π 2 - Ω A Ω s e n Ω t + π 2

Usando x ˙ 0 = 0 :

x ˙ t = - γ 2 cos ⁡ π 2 - ω 0 A s e n π 2 - Ω A Ω s e n π 2 = 0

0 = - ω 0 A - Ω A Ω = 0   → A = - Ω A Ω ω 0

Por fim, nossa solução fica assim:

x t = - Ω A Ω ω 0 - γ t 2 cos ⁡ ω 0 t + π 2 + A Ω c o s ⁡ ( Ω t + π 2 )

Resposta

a):

Ω = 9,35   r a d / s

b):

3,97 .

c):

2 π   s

d):

x t = - Ω A Ω ω 0 - γ t 2 cos ⁡ ω 0 t + π 2 + A Ω c o s ⁡ ( Ω t + π 2 )

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas