Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

As partículas 1 e 2 da Figura abaixo ( a ) estão ligadas uma à outra bem como a paredes verticais através de molas, todas elas de constante elástica k . As partículas 0 e 3 estão fixadas nas paredes e não podem se movimentar. Inicialmente, as partículas (todas elas de massa m ) estão na posição de equilíbrio, com as molas tendo um comprimento d (que coincide com o comprimento natural). Aplica-se à partícula 1 uma força horizontal F ( t ) = F 0 c o s ( ω t ) , fazendo o sistema oscilar longitudinalmente. Seja η i , com i   =   0 ,   1 ,   2 ,   3 , o deslocamento da partícula i em relação à posição de equilíbrio. Ao oscilar, cada partícula experimenta uma força de arrastro do ar proporcional à sua velocidade, sendo ρ a constante de proporcionalidade.

PARTE I

( a ) Obtenha as equações que descrevem o movimento do sistema da Figura ( a ) .

b   Obtenha as equações do movimento para as coordenadas normais e identifique-as freqüências naturais desses modos.

c Obtenha a solução para as coordenadas normais (não é necessário especificar condições iniciais).

Passo 1

a No sistema a temos o mesmo problema que estudamos e aprendemos a resolver na teoria de Oscilações acopladas. Um sistema com 3 molas e duas partículas ( 1 e 2 ) . Na verdade o problema que temos é mais simples, porque as molas possuem a mesma constante elástica k e as partículas a mesma massa m .

Queremos as equações que descrevem o movimento, certo? Então, vamos seguir o passo a passo que vimos na teoria. Primeiro temos que:

  1. Definir o sentido dos deslocamentos e definir as forças do sistema.

Como sempre fazemos, vamos definir o sentido positivo é para direita. E então teremos os movimentos: η 0 ; η 1 ; η 2 ; η 3

Como as partículas 0 e 3 estão presas na parede, então

η 0 = η 3 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos descobrir as equações do movimento para as partículas 1 e 2 . Para isso vamos ter que analisar as forças que agem nas partículas.

Começando pela partícula 1 , ela sofre ação de 4 forças: Duas forças elásticas causadas pelas molas que estão conectadas nessa partícula F e l 1 ; F e l 2 ; A força de arrasto F a r 1 ; E por último a força F t . Os valores de cada força são:

As forças elásticas nós vimos na teoria como acha-las e quanto valem, dá uma olhadinha lá qualquer dúvida.

F e l 1 = - k η 1 F e l 2 = k η 2 - η 1 F a r 1 = ρ v 1 = - ρ η ˙ 1 F t = F 0 . c o s ⁡ ( ω t )

Lembre-se que sempre podemos escrever a velocidade como derivada temporal da posição e a aceleração como segunda deriva.

Agora pela segunda lei de Newton, conseguimos escrever a equação do movimento da partícula 1 .

m . η ¨ 1 = F e l 1 + F e l 2 + F a r 1 + F t

m . η ¨ 1 = - k η 1 + k η 2 - η 1 - ρ η ˙ 1 + F 0 . c o s ⁡ ( ω t )

Isolando a força F ( t ) :

m . η ¨ 1 + ρ η ˙ 1 + 2 k η 1 - k η 2 = F 0 . c o s ⁡ ( ω t )

Agora podemos dividir tudo pela massa e chegamos em:

η ¨ 1 + γ η ˙ 1 + 2 ω 0 2 η 1 - ω 0 2 η 2 = F 0 m . c o s ⁡ ( ω t )

Onde γ e ω 0 2 são:

γ = ρ m

ω 0 2 = k m

Passo 3

Vamos analisar as forças na partícula 2 , são 3 forças: As duas forças elásticas F e l 2 ; F e l 3 e a força de arrasto F a r 2 . Assim como fizemos no passo anterior, os valores dessas forças são:

F e l 2 = k η 1 - η 2 F e l 3 = - k η 2 F a r 2 = ρ v 2 = - ρ η ˙ 2

Pela segunda lei de Newton, conseguimos escrever a equação do movimento

m η ¨ 2 = k η 1 - η 2 - k η 2 - ρ η ˙ 2

Podemos passar tudo para um lado e escrever utilizando γ e ω 0 2

η ¨ 2 + γ η ˙ 2 + 2 ω 0 2 η 2 - ω 0 2 η 1 = 0

Passo 4

b   O que esse item pede para gente fazer é desacoplar o sistema, pois para encontrarmos as equações para as coordenadas normais, precisamos desacoplar o sistema. Mas relaxa, é tranquilo.

A gente só precisa escrever a equação que obtivemos no item a em função de uma única distância. Para conseguir fazer isso tem um truque bem simples, vamos somar e subtrair as duas equações.

As equações que obtivemos no item a   foram essas:

η ¨ 1 + γ η ˙ 1 + 2 ω 0 2 η 1 - ω 0 2 η 2 = F 0 m . c o s ⁡ ( ω t )

η ¨ 2 + γ η ˙ 2 + 2 ω 0 2 η 2 - ω 0 2 η 1 = 0

Quando somar e subtrair obteremos duas equações.

s o m a :   η ¨ 1 + η ¨ 2 + γ η ˙ 1 + γ η ˙ 2 + ω 0 2 η 1 + ω 0 2 η 2 = F 0 m . c o s ⁡ ( ω t )  

Lembra que falei que para desacoplar temos que escrever a equação em função de uma única distância, então se observar bem a equação que obtivemos com a soma, você pode observar que tudo está em função de η 1 + η 2 e suas derivadas.

s o m a :   η ¨ 1 + η ¨ 2 + γ η ˙ 1 + η ˙ 2 + ω 0 2 η 1 + η 2 = F 0 m . c o s ⁡ ( ω t )  

Então para desacoplar basta colocarmos tudo em função da distância d 1 , onde

d 1 = η 1 + η 2

Então chegamos na primeira equação desacoplada

d ¨ 1 + γ d ˙ 1 + ω 0 2 d 1 = F 0 m . cos ⁡ ω t

A frequência natural desse modo continua sendo ω 0

Passo 5

Agora vamos achar a outra equação desacoplada, vamos subtrair dessa vez.

s u b t r a ç ã o :     η ¨ 1 - η ¨ 2 + γ η ˙ 1 - γ η ˙ 2 + 3 ω 0 2 η 1 - 3 ω 0 2 η 2 = F 0 m . c o s ⁡ ( ω t )

Para desacoplar vamos utilizar d 2 , onde

d 2 = η 1 - η 2

Assim chegamos na segunda equação desacoplada

d ¨ 2 + γ d ˙ 2 + ω 2 2 d 2 = F 0 m . cos ⁡ ω t

Nesse caso a frequência natural mudou, ela passa a ser ω 2 , onde essa frequência vale ω 2 = 3 ω 0

Como d 1 e d 2 são as coordenadas que desacoplam o sistema, elas são as coordenadas normais. Assim já encontramos tudo que esse item pedia.

Passo 6

c   Esse é o item em que o calculo tem que estar em dia, pois nossa tarefa é achar a solução para as EDO’s. As EDO representa uma oscilação forçada amortecida com força externa oscilatória:

E D O ' s d ¨ 1 + γ d ˙ 1 + ω 0 2 d 1 = F 0 m . cos ⁡ ω t d ¨ 2 + γ d ˙ 2 + ω 2 2 d 2 = F 0 m . cos ⁡ ω t

A solução de uma EDO heterogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular

d   t = d H + d P

Vamos encontrar primeiro a solução da EDO homogênea. Se observamos a equação é a mesma de um MHA. E como o enunciado diz que o sistema irá oscilar, então estamos no regime sub-critico.

As EDO homogêneas são:

d ¨ 1 + γ d ˙ 1 + ω 0 2 d 1 = 0 d ¨ 2 + γ d ˙ 2 + ω 2 2 d 2 = 0

Como vimos na teoria de Movimento Harmônico Amortecido a solução dessa EDO é:

d 1 t = A 1 e - γ t 2 cos ⁡ ω - 0 t + ∅ 1

d 2 t = A 2 e - γ t 2 cos ⁡ ω - 2 t + ∅ 2

Onde A 1 ; A 2 e ∅ 1 ;   ∅ 2 são dados pelas condições iniciais. E pelo movimento e seguir o regime subcrítico, temos que γ 2 < ω 0 e γ 2 < ω 2

Sendo que a frequências ω - 0 e ω - 2 são:

ω - 0 = ω 0 2 - γ 2 4

ω - 2 = ω 2 2 - γ 2 4

Bem, a solução da homogênea está ai, agora só falta a solução particular, na teoria de oscilações forçadas amortecidas com força externa oscilatória vimos que a solução será da seguinte forma:

d p t = A ω . cos ⁡ ω t + ∅ ω

Saber que a solução particular vai seguir este modelo e A nem vão depender do tempo é o “pulo do gato” para resolvermos essa EDO. Pois sabendo que a solução será assim iremos derivar ela e após isso substituir na EDO.

Lembrando que nossas EDO^' s são:

E D O ' s d ¨ 1 + γ d ˙ 1 + ω 0 2 d 1 = F 0 m . cos ⁡ ω t d ¨ 2 + γ d ˙ 2 + ω 2 2 d 2 = F 0 m . cos ⁡ ω t

Então a solução e as derivadas são:  

1 ° d 1 p t = A - 1 . cos ⁡ ω t + ∅ - 1 d ˙ 1 p = - ω A - 1 . sen ⁡ ω t + ∅ - 1 d ¨ 1 p = - ω 2 A - 1 . cos ⁡ ω t + ∅ - 1  

2 ° d 2 p t = A - 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 2 d ˙ 2 p = - ω A - 2 . sen ⁡ ω t + ∅ - 2 d ¨ 2 p = - ω 2 A - 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 2

Então substituindo na EDO, temos:

E D O ' s - ω 2 A - 1 . cos ⁡ ω t + ∅ - 1 + γ - ω A - 1 . sen ⁡ ω t + ∅ - 1 + ω 0 2 A - 1 . cos ⁡ ω t + ∅ - 1 = F 0 m . cos ⁡ ω t - ω 2 A - 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 2 + γ - ω A - 2 . sen ⁡ ω t + ∅ - 2 + ω 2 2 A - 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 2 = F 0 m . cos ⁡ ω t

Até aqui tudo certo, mas agora vamos começar com o algebrismo “bravo”

Passo 7

Bom como as EDO’s são praticamente iguais iremos resolver uma e depois copiaremos a resposta mudando apenas alguns dados.

Agora precisamos simplificar essa equação e para isso vamos usar as relações trigonométricas.

Usando que :

cos ⁡ ω t + ∅ = cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ - s e n ω t s e n ∅

s e n ω t + ∅ = s e n ω t cos ⁡ ∅ + cos ⁡ ω t s e n ∅

Assim:

A - 1 - ω 2 cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ - s e n ω t s e n ∅ - ω γ s e n ω t cos ⁡ ∅ + cos ⁡ ω t s e n ∅ + ω 0 2 cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ - s e n ω t s e n ∅ = F 0 m c o s ( ω t )

Agora, vamos isolar cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ :

A - 1 cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ - ω 2 1 - s e n ω t s e n ∅ cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ - ω γ s e n ω t cos ⁡ ω t + s e n ∅ cos ⁡ ∅ + ω 0 2 1 - s e n ω t s e n ∅ cos ⁡ ω t cos ⁡ ∅ = F 0 m c o s ( ω t )

Podemos cortar o cos ⁡ ω t da equação e substituir a razão de seno/cosseno por tangente.

A - 1 cos ⁡ ∅ - ω 2 1 - tan ωt tan ⁡ ∅   - ω γ tan ωt + tan ⁡ ∅ + ω 0 2 1 - tan ωt tan ⁡ ∅ = F 0 m

Como agora, toda essa equação é igual a uma constante F 0 / m , observe bem uma equação que varia com o tempo é igual a uma constante, o que significa que não importa o tempo o valor dela é o mesmo, o que só é possível, se os termos que variam com o tempo se anulam.

Então:

A - 1 cos ⁡ ∅ + ω 2 tan ωt tan ⁡ ∅   - ω γ tan ⁡ ω t - ω 0 2 tan ωt tan ⁡ ∅ = 0

Podemos cortar A - 1 cos ⁡ ∅ e t a n ω t também, chegando em:

+ ω 2 tan ⁡ ∅   - ω γ - ω 0 2 tan ⁡ ∅ = 0

Isolando tan ⁡ ∅

tan ⁡ ∅ = ω γ ω 2 - ω 0 2

Então conseguimos determinar o valor de :

∅ = arctan ⁡ ω γ ω 2 - ω 0 2

Assim, conseguimos determinar ∅ - 1 e ∅ - 2 , como ω e γ são os mesmo para ambas EDO’s só vai mudar o valor da frequência natural, assim

∅ - 1 = arctan ⁡ ω γ ω 2 - ω 0 2

∅ - 2 = arctan ⁡ ω γ ω 2 - ω 2 2

Passo 8

Agora falta encontrar o valor da amplitude, e para isso vamos voltar para a equação que tínhamos, antes de falarmos que os termos com o tempo iam se anular.

A - 1 cos ⁡ ∅ - ω 2 1 - tan ωt tan ⁡ ∅   - ω γ tan ωt + tan ⁡ ∅ + ω 0 2 1 - tan ωt tan ⁡ ∅ = F 0 m

Como os termos que dependem do tempo se anulam, chegamos em:

A - 1 cos ⁡ ∅ - ω 2   - ω γ tan ⁡ ∅ + ω 0 2 = F 0 m

Já descobrimos que

tan ⁡ ∅ = ω γ ω 2 - ω 0 2

Como

tan ⁡ ∅ = s e n ∅ cos ⁡ ∅

Então

cos ⁡ ∅ = ω 2 - ω 0 2

Podemos substituir esses valores e descobrimos que

A - 1 = F 0 m ω 2 - ω 0 2 - ω 2   - ω γ ω γ ω 2 - ω 0 2 + ω 0 2

Vamos deixar essa equação mais bonita, observe que dentro dos dois parênteses conseguimos ter os temos ω 2 - ω 0 2 , assim quando multiplicarmos teremos

A - 1 = - F 0 m ω 2 - ω 0 2 2 - ω 2 γ 2

Já descobrimos A - 1 , descobrir A - 2 é fácil agora, pois a única coisa que muda em relação a A - 1 é o ω 0 para o ω 2

A - 2 = - F 0 m ω 2 - ω 2 2 2 - ω 2 γ 2

Passo 9

Agora para encontrarmos a solução da EDO basta somarmos a solução da homogênea com a da particular.

Assim, vamos encontrar:

d 1 = A 1 e - γ t 2 cos ⁡ ω - 0 t + ∅ 1 - F 0 m ω 2 - ω 0 2 2 - ω 2 γ 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 1

d 2 = A 2 e - γ t 2 cos ⁡ ω - 2 t + ∅ 2 - F 0 m ω 2 - ω 2 2 2 - ω 2 γ 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 2

Resposta

a   η 0 = η 3 = 0 η ¨ 1 + γ η ˙ 1 + 2 ω 0 2 η 1 - ω 0 2 η 2 = F 0 m . c o s ⁡ ( ω t ) η ¨ 2 + γ η ˙ 2 + 2 ω 0 2 η 2 - ω 0 2 η 1 = 0

b d ¨ 1 + γ d ˙ 1 + ω 0 2 d 1 = F 0 m . cos ⁡ ω t d ¨ 2 + γ d ˙ 2 + ω 2 2 d 2 = F 0 m . cos ⁡ ω t  

c d 1 = A 1 e - γ t 2 cos ⁡ ω - 0 t + ∅ 1 - F 0 m ω 2 - ω 0 2 2 - ω 2 γ 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 1 d 2 = A 2 e - γ t 2 cos ⁡ ω - 2 t + ∅ 2 - F 0 m ω 2 - ω 2 2 2 - ω 2 γ 2 . cos ⁡ ω t + ∅ - 2

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