Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Um bloco de massa m, que pode deslizar sem atrito sobre um plano inclinado de um ângulo θ , está conectado ao topo do plano por uma mola ideal, que obedece à lei de Hooke, com constante elástica k e comprimento L quando não deformada.

(a) Calcule a distância que o bloco se encontra do topo do plano inclinado na posição de equilíbrio.

(b) Deduza a equação de movimento do sistema, em termos da distância ao topo do plano inclinado.

(c) Resolva a equação de movimento, obtida no item anterior, para o caso do bloco ser solto do repouso a uma distância b, ao longo do eixo X indicado na figura, acima da posição de equilíbrio.

Passo 1

a) Então, na posição de equilíbrio a força resultante é zero. Vamos tomar como positivo o eixo x paralelo ao plano apontando para baixo! E as forças atuando no bloco são a força peso e a força da mola. Então:

F R = P x - k ( x e q - L )

E:

P x = P sin ⁡ θ

P x = m g sin ⁡ θ

Então:

F R = m g sin ⁡ θ - k x e q - L = 0

m g sin ⁡ θ = k x e q - L

m g sin ⁡ θ k = x e q - L

x e q = L + m g sin ⁡ θ k

E lembrando que k / m = ω 0 2 :

x e q = L + g sin ⁡ θ ω 0 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Agora nós vamos escrever a mesma coisa que na letra a, só que com força resultante diferente de zero e pra um x qualquer:

F R = m g sin ⁡ θ - k x - L = m a

m a = m g sin ⁡ θ - k x - L

m a + k x = m g sin ⁡ θ + k L

E lembrando que:

a = x ¨

m x ¨ + k x = m g sin ⁡ θ + k L

Passo 3

c) Agora ele pede que a gente resolva essa equação do item b.

Essa equação vai ter uma solução homogênea e uma solução particular.

A solução homogênea é a mesma do MHS:

x H t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ )

E como a parte particular deve parecer com o lado direito da equação (constante) vou chutar um valor constante pra ela:

x P t = C

E derivando:

x ˙ P t = 0

x ¨ P t = 0

Passo 4

Beleza, agora vamos substituir x P t na EDO:

m x ¨ + k x = m g sin ⁡ θ + k L

0 + k C = m g sin ⁡ θ + k L

C = m g sin ⁡ θ + k L k

C = m g sin ⁡ θ k + L

C = g sin ⁡ θ ω 0 2 + L

Então:

x P t = C = g sin ⁡ θ ω 0 2 + L

Olha que engraçado, x P t vai ser exatamente igual a x e q !

x P t = x e q

E a solução geral vai ser:

x t = x H t + x P t

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ ) + x e q

Passo 5

Para descobrir as constantes x m e φ vamos usar as condições iniciais:

x 0 = b

x ˙ 0 = 0

x t = x m cos ⁡ ( ω 0 t + φ ) + x e q

x 0 = x m cos ⁡ ( φ ) + x e q = b

x m cos ⁡ ( φ ) = - x e q + b

cos ⁡ ( φ ) = - x e q + b x m

E pra outra condição inicial:

x ˙ t = - ω 0 x m s in ⁡ ( ω 0 t + φ )

x ˙ 0 = - ω 0 x m s in ⁡ ( φ ) = 0

s in ⁡ ( φ ) = 0

φ = 0   o u   φ = π

Como:

cos ⁡ ( φ ) = - x e q + b x m

O valor de cos ⁡ ( φ ) deve ser negativo, porque x m é positivo e x e q > b (lembra que ele disse que b tá acima da posição de equilíbrio?). Então:

φ = π

cos ⁡ ( φ ) = - 1 = - x e q + b x m

x m = x e q - b

A solução geral vai ficar:

x t = ( x e q - b ) cos ⁡ ( ω 0 t + π ) + x e q

Com:

x e q = g sin ⁡ θ ω 0 2 + L

Resposta

a) x e q = L + g sin ⁡ θ ω 0 2

b) m x ¨ + k x = m g sin ⁡ θ + k L

c) x t = ( x e q - b ) cos ⁡ ( ω 0 t + π ) + x e q

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas