Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Um sistema oscilatório tem seu movimento descrito pela seguinte equação:

x t = F 0 m ( ω 0 2 - Ω 2 ) cos ⁡ Ω t + B c o s ( ω 0 t + ϕ )

Onde F 0 e B são constantes, Ω   e   ω 0 são frequências angulares e φ representa uma fase. Indique qual a afirmativa correta sobre o movimento na condição de ressonância, sabendo que o oscilador está inicialmente em repouso e na posição de equilíbrio:

(a) É uma oscilação sem amortecimento, com s e n φ   =   0 no qual a amplitude está crescendo.

(b) É uma oscilação sem amortecimento, com s e n φ ≠   0 no qual a amplitude está decrescendo.

(c) É uma oscilação com amortecimento forte, com s e n φ ≠   0 no qual a amplitude está decrescendo.

(d) É uma oscilação com amortecimento, com s e n φ   ≠   0 no qual a amplitude está decrescendo.

(e) É uma oscilação com amortecimento fraco, com s e n φ   ≠   0 no qual a amplitude está decrescendo lentamente.

Passo 1

Se liga na equação

x t = F 0 m ( ω 0 2 - Ω 2 ) cos ⁡ Ω t + B c o s ( ω 0 t + ϕ )

Não tem nenhum decaimento exponencial, então temos um movimento harmônico sem amortecido.

O segundo termo é uma oscilação com amplitude constante (B), um movimento harmônico simples, e o primeiro termo é uma oscilação com amplitude que depende da oscilação externa ( Ω ), então é um movimento harmônico forçado.

A ressonância vai acontecer justamente quando a oscilação externa for idêntica a frequência natural de oscilação do sistema. Matematicamente,

Ω = ω 0

E o que vai acontecer com a amplitude nesse caso?

Como não tem amortecimento, a amplitude vai sempre aumentando, tendendo para o infinito.

Já dá pra matar a questão aí! Mas vamos ver se a fase bate com as alternativas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ele diz que o oscilador está incialmente em repouso, velocidade igual a zero, e na posição de equilíbrio. Podemos escrever matematicamente que:

x t = 0 = 0

v t = 0 = x ˙ t = 0 = 0

Da primeira equação, tiramos que

x t = 0 = F 0 m ω 0 2 - Ω 2 + B c o s ϕ = 0

B = F 0 m ( ω 0 2 - Ω 2 ) c o s ⁡ ( ϕ )

Para usar a segunda equação, vamos achar a velocidade primeiro:

v t = d d t x t = - Ω F 0 m ω 0 2 - Ω 2 s e n Ω t - ω 0 s e n ( ω 0 t + ϕ )

v t = 0 = 0

v t = 0 = - ω 0 s e n ϕ = 0

Então, temos que

s e n ϕ = 0

Resposta

(a) É uma oscilação sem amortecimento, com s e n φ   =   0 no qual a amplitude está crescendo.

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