Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Considere dois osciladores harmônicos simples, o oscilador 1 tem frequência natural ω 0 enquanto o oscilador 2 possui frequência natural 100 ω 0 . Ambos estão sob a ação de uma mesma força externa periódica que oscila com frequência 95 ω 0 . A respeito da solução particular de ambos podemos afirmar que:

(a) Ambos oscilam em fase com mesma frequência e têm a mesma amplitude.

(b) Eles oscilam defasados mas com mesma frequência e mesma amplitude.

(c) Eles oscilam em fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior do que 1.

(d) O oscilador 2 oscila com maior amplitude e maior frequência do que o 1. Eles podem estar ou não em fase dependendo das condições iniciais.

(e) Eles os oscilam fora de fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior do que 1.

Passo 1

Pro oscilador 1, a equação da oscilação forçada e a solução particular vão ser:

x ¨ + ω 0 2 x = F 0 cos ⁡ ( 95 ω 0 )

x P 1 ( t ) = F 0 cos ⁡ ( 95 ω 0 ) m [ ω 0 2 - 95 ω 0 2 ]

E pro oscilador 2:

x ¨ + ( 100 ω 0 ) 2 x = F 0 cos ⁡ ( 95 ω 0 )

x P 2 ( t ) = F 0 cos ⁡ ( 95 ω 0 ) m [ ( 100 ω 0 ) 2 - 95 ω 0 2 ]

Beleza!

Agora vamos analisar as alternativas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Ambos oscilam em fase com mesma frequência e têm a mesma amplitude.

A solução particular dos dois tem a mesma frequência, igual à da força externa. Mas a amplitude é diferente pros dois:

A 1 = F 0 m [ ω 0 2 - 95 ω 0 2 ]

E:

A 2 = F 0 m [ ( 100 ω 0 ) 2 - 95 ω 0 2 ]

Além disso, como a solução homogênea deles tem frequências angulares DIFERENTES ( ω 0   e   100 ω 0 ) eles vão oscilar FORA DE FASE.

Então essa aí tá errada!

(b) Eles oscilam defasados mas com mesma frequência e mesma amplitude.

Como já vimos, eles estão fora de fase! A solução particular tem a mesma frequência de oscilação para os dois, mas a amplitude é diferente. Então tá errada!

(c) Eles oscilam em fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior do que 1.

Eles oscilam fora de fase, então tá errada! Mas a amplitude A 2 é maior que A 1 , porque [ ( 100 ω 0 ) 2 - 95 ω 0 2 ] é menor que [ ω 0 2 - 95 ω 0 2 ] . Então não fosse esse vacilo aí de dizer que eles estão oscilando em fase, a alternativa estaria certa.

(d) O oscilador 2 oscila com maior amplitude e maior frequência do que o 1. Eles podem estar ou não em fase dependendo das condições iniciais.

O oscilador 2 tem maior amplitude mesmo, como vimos na letra c. Mas a solução particular dos dois tem a mesma frequência, igual à da força externa. Então tá errada!

(e) Eles os oscilam fora de fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior do que 1.

Essa tá certa! Eles oscilam fora de fase, mas a frequência é a mesma e igual à da força externa. Além disso, como vimos, a amplitude do oscilador 2 é maior que a do oscilador 1.

Resposta

Letra E.

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