Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

UFRJ-P2-2014.2-Discursiva 1

Considere um corpo de massa m 1 , preso a uma mola ( de constante elástica k e comprimento relaxado L 0 ) cuja outra extremidade presa está presa ao teto. Considere que pode oscilar, sem resistência, na vertical sob a ação de um campo gravitacional g . O corpo é solto, inicialmente em repouso, da posição em que a mola encontra-se relaxada.

  1. DEDUZA a equação diferencial de movimento. Especifique CLARAMENTE o eixo e a origem de seu sistema de coordenadas.
  2. Mostre que a equação diferencial de movimento pode ser escrita como a equação do oscilador harmônico simples em torno de uma nova posição de equilíbrio e determine esta posição.
  3. Escreva a solução completa x = x ( t ) que descreve o movimento, em função dos dados do problema.

Passo 1

Vamos definir nosso eixo de coordenadas apontando pra baixo, na direção do vetor peso:

A nossa origem ficará no teto. A força elástica será dada por:

F e l → = - k d i ^

Onde d é o deslocamento e i o vetor unitário que aponta na direção de x Como o comprimento natural é L 0 , temos que:

d = x - L 0

Show! Então a força elástica vai ser:

F e l → = - k d i = - k x - L 0 i

E temos também a força peso, né? É de se esperar que ela seja positiva, pois aponta na direção de crescimento do x :

P → = m g i

Vamos calcular agora a força resultante usando a segunda lei de Newton:

m a = - k x - L 0 + m g

A aceleração, no caso, é a segunda derivada da posição em relação ao tempo:

a = x ¨

Então:

m x ¨ = - k x - L 0 + m g   → x ¨ + k m x - L 0 = g

(:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Bom, primeiro, qual é posição de equilíbrio galera?

Vamos definir L 1 como:

k L 1 = m g → L 1 = m g k

Ou seja, o comprimento que gera uma força elástica que equilibra o peso. Agora, vamos definir novas coordenadas x ' :

x ' = x - L 1

Então, reescrevendo a equação diferencial que a gente encontrou (Trocando só x por x ' ):

x ' ¨ + k m x ' - L 0 = g

Substituindo o valor de x ' :

Primero: A derivada de x ' elimina constante L 1 :

x ' = x - L 1 → x ' ¨ = x ¨

Logo:

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

Passo 3

c):

Vamos calcular a solução para x . Como o sistema é forçado, a solução será composta por uma solução homogênea e uma particular. A solução homogênea será do tipo:

x h ( t ) = A c o s ω t + φ

E a solução particular?

Bom, a solução particular vai ser do tipo:

x ' p t = C

Onde C é uma constante. Isso seve ao fato de que a força externa é constante. Então, substituindo na expressão:

k m C - L 0 = g   → C = m g k + L 0 = x p t

Logo, a solução geral vai ser do tipo:

x t = x h t + x p t = A c o s ω t + φ + m g k + L 0

As condições iniciais são:

x 0 = L 0

x ˙ 0 = 0

Lembrando-se que a mola parte do repouso, por isso x ˙ 0 = 0 .Então:

x 0 = A c o s δ + L 0 + m g k = L 0

A c o s δ = - m g k

Passo 4

Calculando a derivada da solução a aplicando em t = 0 :

x ˙ t = - A s e n δ = 0

Logo:

δ = n π

Com n = 0 , ∓ 1 , ∓ 2 , …

Vamos escolher n = 0 . Logo:

δ = 0

Então, voltando a expressão que achamos pra A :

A c o s δ = - m g k

A c o s 0 = - m g k

A = - m g k

Então, finalmente, a solução será:

x t = - m g k cos ⁡ k m t + L 0 + m g k

Resposta

a):

x ¨ + k m x - L 0 = g

b):

x ¨ + k m x - L 0 - L 1 = g

c):

x t = - m g k cos ⁡ k m t + L 0 + m g k

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