Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Uma cantoneira maciça é formada por duas barras delgadas idênticas, cada uma de massa M e comprimento L, conectadas perpendicularmente. Na junção entre as barras há um pequeno orifício circular de raio desprezível. O conjunto é pendurado por meio de um pino de suspensão passando pelo orifício e em torno do qual a cantoneira pode girar sem atrito, como mostrado na figura, numa situação em que o sistema está em equilíbrio.

Quando a cantoneira é deslocada ligeiramente para a direita ou para a esquerda, ela oscila no plano da figura

(a) Esboce o diagrama de forças externas que agem sobre a cantoneira num instante de tempo em que a linha que contém o CM desta faz um ângulo θ com a vertical.

(b) Adote um sistema de coordenadas com uma base de versores e determine o vetor torque total externo sobre a cantoneira na situação do item (a).

(c) No limite de pequenas oscilações, obtenha a equação diferencial para o ângulo θ , bem como a frequência natural das oscilações da cantoneira.

(d) Se o valor inicial para o ângulo θ é θ o > θ e a barra é liberada a partir do repouso, escreva a solução completa para o ângulo θ t neste mesmo limite.

(e) Ainda no limite de pequenas oscilações, calcule as energias cinética K ( t ) e potencial U ( t ) da cantoneira como função do tempo. Verifique seu resultado, certificando-se de que a soma K   +   U é constante. No limite de pequenos ângulos:

s i n θ ≅ θ   e   c o s θ ≅ 1 - 1 2 θ 2

Passo 1

a) A figura abaixo mostra duas possíveis representações do diagrama de forças externas contendo: o peso M g de cada uma das barras da cantoneira aplicados aos seus respectivos C M s ou o peso total da cantoneira aplicado no C M correspondente e a força de reação R aplicada pelo pino de suspensão na cantoneira.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Tomaremos como ponto de referência para o cálculo do torque o ponto de suspensão (O), de forma que as únicas forças contribuindo para o torque são as forças peso. Logo

τ O = r 1 × M g + r 2 × M g

No sistema de coordenadas adotado temos que

τ O = [ - L 2 cos ⁡ π 4 + θ x ˙ - L 2 sin ⁡ π 4 + θ y   ̇ ] × - ( M g y ) + [ L 2 cos ⁡ π 4 - θ x ˙ - L 2 sin ⁡ π 4 - θ y   ̇ ] × - ( M g y )

τ O = M g L 2 cos ⁡ π 4 + θ z   ̇ - M g L 2 cos ⁡ π 4 - θ z   ̇

τ O = 2 2 M g L s i n θ   z   ̇

Passo 3

c) De acordo com a 2a lei de Newton para rotações

τ O = d L O d t = I O θ ˙ ˙ z ˙

De forma que no limite de pequenas oscilações s i n θ = θ , temos

- 2 2 M g L θ = I O θ

Portanto

θ ˙ ˙ + 2 2 M g L θ I O = 0

O momento de inércia da cantoneira com respeito a um eixo passando pelo ponto de suspensão O pode ser obtido por meio do teorema dos eixos paralelos

I O = 2 M L 2 12 + M L 2 2 = 2 3 M L 2 ,

De forma que temos para a equação diferencial final

θ ˙ ˙ + ω o 2 θ = 0 com ω o 2 = 3 2 4 g L

Passo 4

d) equação diferencial do item (c) é a do MHS, cuja solução geral é

θ t = A c o s ω o t + ϕ e

θ ˙ t = - ω o A s i n ω o t + ϕ

Para as condições iniciais dadas

θ 0 = A c o s ϕ = θ o > 0 e

θ ˙ 0 = - ω 0 A s i n ϕ

Como θ o = 0   e   A = θ o , temos que

θ t = θ 0 c o s ⁡ ( ω o t )

Passo 5

e) A energia cinética devido a rotação em torno de O, com velocidade angular de θ   ̇ é dada por

K t = 1 2 I O θ ˙ 2 = 1 2 I O ω o 2 θ o 2 sin 2 ⁡ ω o t = 2 4 M g L 1 - 1 2 θ o 2 cos 2 ⁡ ω o t

Para a energia potencial, tomaremos como ponto de referência o ponto de suspensão para calcular a altura CM da cantoneira. Na posição de equilíbrio, o CM da cantoneira esta a uma distância L 2 2 2 abaixo de O, de modo que quando o sistema girou um ângulo θ com respeito a vertical

U t = 2 M g h C M = - 2 2 M g L c o s θ ≅ = - 2 2 M g L 1 - θ 2 2 = = - 2 2 M g L 1 - 1 2 θ o 2 cos 2 ⁡ ω o t

Onde usou-se o limite de pequenas oscilações. Como a força de reação R não realiza trabalho, a energia mecânica desse sistema deve se conservar.

E = U t + K t

E = - 2 2 M g L 1 - 1 2 θ o 2 cos 2 ⁡ ω o t + 2 4 M g L 1 - 1 2 θ o 2 cos 2 ⁡ ω o t

E = - 2 2 M g L 1 - θ 2 2 = U M A X = c o n s t a n t e

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