Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Ondas Harmônicas

Considere duas molas, a mola 1 tem frequência natural ω 0 , enquanto a mola 2 tem frequência natural 100 ω 0 . Ambas estão sob a ação de uma mesma força externa periódica que oscila com frequência 95 ω 0 . A respeito da solução particular de ambas, podemos afirmar que:

  1. Ambas oscilam em fase com a mesma frequência e mesma amplitude.
  2. As molas oscilam defasadas mas com mesma frequência e mesma amplitude.
  3. As molas oscilam em fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior que 1
  4. A mola 2 oscila com maior amplitude e frequência que 1. Elas podem estar ou não em fase, dependendo das condições iniciais.
  5. As molas oscilam fora de fase com mesma frequência e 2 apresenta uma amplitude maior do que 1.

Passo 1

Quando ele fala da solução particular, está falando da solução que tem a ver com a força externa periódica, ou seja, com a solução estacionária.

Afinal de contas, a EDO de uma mola que sofre a ação de uma força externa é assim:

x ¨ + ω 0 2 x = F 0 m c o s ⁡ ( ω t + φ )

E a solução é composta de uma solução geral e uma particular:

x t = x h t + x p t

Então, você vai precisar usar também a equação:

A = F m m ω n 2 - ω 2

E a relação que vimos para as fases da solução particular:

φ 0 = 0   s e   ω < ω n

φ 0 = - π   s e   ω > ω n

Porque isso vai compor a sua solução particular que é dada por:

x p t = F m m ω n 2 - ω 2 c o s ⁡ ( ω t + φ 0 )

Isso porque a questão não fala nada sobre amortecimento.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos analisar as amplitudes e as fases de cada mola:

Para a mola 1, a amplitude será dada por:

A ω = F m m ω 0 2 - 95 ω 0 2 = F m m 9024 ω 0 2

E fase? Bom, como nesse caso a força externa tem uma frequência maior que a frequência natural, pela relação que vimos antes:

φ 0 = - π

Assim, a solução particular será:

x p t = F m m 9024 ω 0 2 c o s ⁡ ( ω t - π )

Passo 3

Para a mola2, a amplitude será dada por:

A ω = F m m 100 ω 0 2 - 95 ω 0 2 = F m m 975 ω 0 2

E a fase? Bom, como nesse caso a frequência natural é maior do que a frequência da força externa, temos:

φ 0 = 0

Assim a solução particular será:

x p t = F m m 975 ω 0 2 c o s ⁡ ( ω t )

Passo 4

Vamos comparar as duas agora:

x p 1 t = F m m 9024 ω 0 2 c o s ⁡ ( ω t - π )

x p 2 t = F m m 975 ω 0 2 c o s ⁡ ( ω t )

Amplitudes:

Como :

F m m 975 ω 0 2 > F m m 9024 ω 0 2

Concluímos que a mola 2 oscila com uma amplitude maior que a mola 1.

E elas estão em fase ou fora de fase?

Estão fora de fase. Podemos notar isso dentro dos cossenos das soluções particulares: para uma delas usamos uma constante de fase φ 0 = 0 e para outra φ 0 = - π

Assim, dando uma lida nas opções podemos concluir que a resposta correta é a :

e)

Resposta

e)

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