Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Três blocos de mesma massa m estão ligados a molas diferentes, de forma que suas frequências são f 1   = 1 H z ,   f 2   =   1 , 5   H z   e   f 3   =   4   H z . Estes blocos oscilam sem amortecimento, e são, a partir de um certo momento, submetidos às forças externas, todas estas com a mesma amplitude F0 e mesma frequência de oscilação de duas oscilações por segundo. Após terem atingido o regime estacionário, as amplitudes de seus movimentos obedecem às seguintes relações:

  1. A 3   <   A 1   <   A 2
  2. A 3   <   A 2   <   A 1
  3. A 1   <   A 2   <   A 3
  4. A 2   <   A 1   <   A 3
  5. Nenhuma das alternativas

Passo 1

Galera, o macete aqui é analisar o comportamento da amplitude no regime estacionário como função da frequência de uma força externa harmônica aplicada. Para isso, consideraremos o amortecimento desprezível. Então para iniciar, vamos obter algumas informações do enunciado.

O exercício nos informa que todos três blocos possuem mesma massa m , e que a frequência de oscilação é 2 oscilações por segundo, ou seja, T = 0,5 s .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que a amplitude   A é igual ao deslocamento máximo em relação ao ponto de equilíbrio, ele independe do equilíbrio inicial:

A = m g k

A constante de deformação da mola k , pode ser expressa como:

k = ω 2 m ,

Temos que a mesma massa em todos blocos e ω = 2 π f .

A = m g ω 2 m = g ω 2 = g 2 π f 2

Portanto, ao analisarmos cada caso, vemos que para f 1   = 1 , 0   H z ,   f 2   =   1 , 5   H z   e   f 3   =   4   H z , ω 1 < ω 2 < ω 3 , respectivamente.

As molas ligadas a cada massa são diferentes, e concluímos que:

k 1 < k 2 < k 3 .

Como a amplitude A é inversamente proporcional a k , podemos concluir que:

A 3   <   A 2   <   A 1

Resposta

Letra B)

Temos um pequeno problema nesta questão, pois o enunciado afirma que o amortecimento é nulo ao invés de desprezível, como consequência o sistema não atingiria o regime estacionário e as amplitudes dependem também da solução da equação homogênea (que seria transiente), que por sua vez depende das condições iniciais, e não foram dadas. Assim, embora o enunciado afirme que o sistema atingiu o regime estacionário, indicando que o amortecimento nulo era uma aproximação, é razoável concluirmos que nenhuma das alternativas estaria correta. (Letra E)

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