Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

USP-P1-2012-Q3

Considere um trator atravessando um campo onde existem ondulações em intervalos regulares. A distância entre cada monte é 5 m . Existe uma suspensão de mola ligada ao assento do motorista e este oscila em um regime no qual o amortecimento é desprezível. Podemos assumir uma mola de constante de mola 17280 N / m , a massa do assento é 50 k g e a do motorista é 70 k g . O trator trafega a 27 k m / h . Considere π ≈ 3 .

  1. Qual a frequência f   com que o trator passa em cada elevação?
  2. Qual a frequência de oscilação natural f 0 do sistema assento-passageiro-mola?
  3. Se considerar que, durante o trajeto, a força máxima aplicada pelo trator sobre o sistema cadeira-motorista é de 756 N , qual a amplitude máxima do movimento de oscilação do motorista?(assuma que a força é harmônica).
  4. Para ocorrer o fenômeno de ressonância entre a força aplicada ao trator pelas ondulações e as oscilações sobre o sistema cadeira-passageiro, qual velocidade o trator deve atingir?(resposta em m / s ) .

Passo 1

a)

A questão quer saber qual a frequência com que o trator passa em cada elevação. Bom, nós temos uma velocidade e uma variação de espaço ∆ x = 5 m , basta a gente descobrir ∆ t , que vai ser igual ao período de tempo que o trator leva de um buraco ao outro. A frequência será o inverso desse tempo.

v = ∆ x T   → T = ∆ x v

Convertendo a velocidade pra m / s (basta dividir por 3,6 ) :

v = 7,5 m / s

Logo:

T = 5 7,5

Só que f = 1 T :

f = 7,5 5 = 1,5   H z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

A frequência natural pode ser encontrada a partir da frequência angular natural. Essa é dada por:

ω 0 = k m = 17280 120

Só que:

ω 0 = 2 π f 0 → f 0 = 1 2 π . ω 0 = 1 2 π . 144 = 6 π H z

E :

ω 0 = 144 = 12 r a d / s

Passo 3

c)

Bom, como você deve ter percebido, a questão se trata de um sistema forçado não amortecido. O sistema natural é amola com o motorista e a força externa é exercida pelo trator, sendo que essa tem uma frequência f = 1,5 H z .

O módulo da amplitude máxima do sistema forçado é:

‖ A ‖ = F 0 m ω 0 2 - ω 2

Calculando ω :

ω = 2 π f = 2 . π . 1,5 = 3 π

Usando π = 3 :

ω = 9

Logo:

A = 756 120 144 - 81 = 0,1 m = 10 c m

Passo 4

d)

Pra haver ressonância vamos ter que ter: ω = ω 0 . Como ω = 2 π T e T = ∆ x v :

ω = 2 π v ∆ x

E sabendo que ω 0 = 12 r a d / s :

12 = 2 π v ∆ x → v = 6 ∆ x π = 30 π = 30 3 = 10 m / s

Resposta

a)

f = 1,5   H z

b)

f 0 = 6 π H z

ω 0 = 12 r a d / s

c)

0,1 m = 10 c m

d)

10 m / s

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