Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

Uma pessoa está em pé sobre uma balança de banheiro que está sobre uma plataforma suspensa por uma grande mola. A plataforma executa um movimento harmônico simples vertical. Descreva a variação de leitura da escala da balança durante um período.

Passo 1

Vamos primeiro ver as forças que estão atuando nesse ser humano. Só a força peso e a força elástica, certo?

A força peso tá apontando pra baixo, como de costume, e a força elástica apontando pra cima, sempre contrária ao movimento. Então a força resultante vai ser:

F R = P - F e l

Vamos trocar pelas fórmulas de peso e força elástica. E como força resultante é massa vezes aceleração:

m x ¨ = m g - k x

m x ¨ + k x = m g

Tá lembrando do que é isso? Essa aí é uma EDO de oscilação forçada com força externa constante e igual à força peso.

Puts, falei grego pra você? Dá uma olhada rápida lá na teoria de Oscilações Forçadas que tudo fica mais claro.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Tá, e como a gente resolve isso? Essa equação vai ter uma solução homogênea, igualzinho à do MHS, e uma solução particular, devido à força externa. Então:

x t = x H t + x P ( t )

x H t = x m cos ⁡ ( ω t + φ )

E a solução particular a gente acha chutando uma solução parecida com ela e substituindo na EDO. Como a força externa é constante, a gente chuta que a solução particular também é. Tipo assim:

x P t = C

Depois é só substituir na EDO pra achar o valor de C. Lá na teoria tem o passo a passo bonitinho, mas fazendo essa conta a gente acha que:

x P t = g m k

Então a nossa solução vai ser:

x t = x H t + x P ( t )

x t = x m cos ⁡ ( ω t + φ ) + g m k

Passo 3

Beleza! Ele quer a leitura da balança né? E quando eu ou você estamos nos pesando lá na balança da farmácia, a leitura que ela mostra é a massa. Mas nessa leitura a força resultante é igual ao peso, porque não tem essa bobeira de plataforma oscilatória.

Então a balança tá pegando a força resultante e dividindo pela aceleração da gravidade. Porque ela recebe o peso, que é igual a m g , e retorna só m . Tendeu?

Então a leitura da nossa balança vai ser:

F R g

Ou seja:

m x ¨ g

Passo 4

Vamos achar então a leitura da balança. A gente achou que a posição é:

x t = x m cos ⁡ ( ω t + φ ) + g m k

Então a aceleração vai ser, a segunda derivada, igual a:

x ¨ t = - ω 2 x m cos ⁡ ( ω t + φ )

Show! Então trocando na fórmula que achamos pra leitura da balança:

- ω 2 m x m cos ⁡ ( ω t + φ ) g

Em que:

A = ω 2 m x m g

Resposta

Em que:

A = ω 2 m x m g

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