Exercícios Resolvidos de Oscilações Forçadas

MHA

O gráfico ao lado representa a equação horária x ( t ) de um oscilador, para um sistema que é composto por um bloco de massa m = 1 k g preso a uma mola de constante elástica k que está na posição vertical. Este sistema está imerso em um fluido viscoso com coeficiente de resistência ρ = 0.4 N s / m e cuja força de resistência é proporcional à velocidade do corpo que se movimenta em seu interior. Dado que a velocidade inicial do móvel é v 0 = - 2 m / s , responda, sempre considerando o intervalo de tempo mostrado no gráfico:

  1. Dado o movimento do bloco no sistema descrito acima, qual a equação horária que descreve este sistema? Inclua os valores explícitos de suas constantes.
  2. Determine a frequência natural ω 0 e a constante da mola k .
  3. Qual a velocidade do bloco no instante t = 3 s ?
  4. Suponha agora que este mesmo sistema seja retirado do fluido viscoso e passe a oscilar num meio sem resistência. Neste novo regime, o deslocamento máximo é x m á x = 10 m e a constante de fase é nula. Qual será a nova equação horária do sistema?

Passo 1

a):

A equação do MHA tem o formato:

x t = A e - γ 2 t c o s ⁡ ( ω t + φ )

Então vamos procurar cada um dos elementos.

Pelo gráfico, podemos descobrir qual o período da oscilação. Basta a gente pegar os tempos entre dois picos sucessivos. O primeiro pico está em t = 0 s e o segundo em t = 2 s .Logo:

T = 2 s

Com isso podemos calcular a frequência angular:

ω = 2 π T = 2 π 2 = π

Beleza. Agora vamos calcular o coeficiente de amortecimento γ . Pela nossa teoria:

γ = ρ m

Pois, pela E D O amortecida:

m x ¨ + ρ c x ˙ + k x = 0

Dividindo tudo por m :

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Então, calculando γ :

γ = ρ m = 0,4 1 = 0,4 s - 1

Então : γ 2 = 0,2 s - 1 . Logo:

x t = A e - 0,2 t cos ⁡ π t + φ

Mas para t = 0 , x 0 = 10 , então:

x 0 = 10   ↔ 10 = A e 0 cos ⁡ φ ↔ A c o s φ = 10

Temos outra informação relacionada à velocidade incial. Vamos derivar a equação então:

v t = d x t d t = - γ 2 A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + φ + ω A e - γ 2 t s e n ω t + φ

Pra t = 0 :

v 0 = - γ 2 A c o s φ + ω A s e n φ = - 0,2 A cos ⁡ φ + π A s e n φ = - 2

- 0,2 A cos ⁡ φ + π A s e n φ = - 2

Substituindo o valor de A c o s φ = 10 :

- 2 + π A s e n φ = - 2 → s e n φ = 0   → φ = 0

Usando de novo A c o s φ = 10 :

A c o s 0 = 10   ↔ A . 1 = 10

Beleza, agora temos todos os valores pra montar a equação:

x t = A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + φ

x t = 10 e - 0,2 t cos ⁡ π t m

As unidades das constantes são:

γ = s - 1

ω = s - 1

A = m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b):

Bom, a relação entre a frequência do sistema ( ω ) e frequência angular natural do mesmo( ω 0 ) , é a seguinte:

ω 2 = ω 0 2 - γ 2 4

Isso vem da solução da equação característica da EDO...lembra que temos que resolver essa equação aqui?:

x ¨ + γ x ˙ + ω 0 2 x = 0

Usando essa aqui:

r 2 + γ r + ω 0 2 = 0

A gente pode calcular o delta dessa última e as raízes assim:

∆ = γ 2 - 4 ω 0 2

No fim escrevemos:

r = - γ 2 ∓ ∆ 2 = - γ 2 ∓ ∆ 4 = - γ 2 ∓ ω

É isso ai! Nós chamamos de ω o ∆ 4 . Logo:

ω = ∆ 4

ω 2 = ω 0 2 - γ 2 4   → ω 0 = ω 2 + γ 2 4 = π 2 + 0,16 4 = π 2 + 0,04 r a d / s

E como:

k = m ω 0 2 = m π 2 + 0,04 = π 2 + 0,04 k g / s 2

Passo 3

c):

Pra isso a gente vai precisar da derivada da posição. Bom já calculamos isso na a):

v t = - γ 2 A e - γ 2 t cos ⁡ ω t + φ + ω A e - γ 2 t s e n ω t + φ

Usando os valores de cada constante;

v t = - 10 e - 0,2 t ( 0,2 cos ⁡ π t + π sin ⁡ π t )

t = 3 :

v 3 = - 10 e - 0,6 0,2 - 1 + π sin ⁡ 3 π

v 3 = 2 e - 0,6 m / s

Passo 4

d):

O fator de amortecimento vai se anular, então a equação vai ser uma equação de um MHS, ou seja:

x t = A c o s ω 0 t

Logo:

x t = 10 cos ⁡ π 2 + 0,04 t

Resposta

a):

x t = 10 e - 0,2 t cos ⁡ π t m

As unidades das constantes são:

γ = s - 1

ω = s - 1

A = m

b):

ω 0 = π 2 + 0,04 r a d / s

k = π 2 + 0,04 k g / s 2

c):

v 3 = 2 e - 0,6 m / s

d):

x t = 10 cos ⁡ π 2 + 0,04 t

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