Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Ache equações paramétricas da reta r que passa por P = ( - 1 ,   3 ,   1 ) e é perpendicular à reta

s : x - 1 2 = y - 1 3 = z

Passo 1

Caramba! Só de ler o enunciado bateu o desespero?!

Respira!! Que essa questão tem alguns detalhes que não falamos ainda!! ;)

Passo 2

Com os dados que temos podemos desenhar nosso problema da seguinte maneira:

O vetor diretor da reta s conseguimos retirar pelas equações simétricas s → = ( 2 ,   3 ,   1 ) . O ponto P é dado, P = ( - 1 ,   3 ,   1 ) . E a última informação preciosa que temos é que as retas são perpendiculares, ou seja, formam 90 ° e são concorrentes.

Passo 3

Mas, como acho o vetor diretor da reta r ??

Como sabemos que as retas são perpendiculares, então, seus vetores diretores também são. Se são perpendiculares, o produto interno entre eles deve ser ZERO.

O ponto de interseção entre as reta é Q . Como Q pertence à reta s , então um ponto genérico de s é:

x ,   y ,   z = 1 ,   1 ,   0 + t ( 2 ,   3 ,   1 )

Então:

Q = ( 1 + 2 t ,   1 + 3 t ,   t )

O vetor diretor de r será então o vetor formado pleos pontos P e Q :

P Q → = Q - P = 1 + 2 t ,   1 + 3 t ,   t - - 1 ,   3 ,   1 = ( 2 + 2 t ,   3 t - 2 , t   - 1 )

r → = ( 2 + 2 t ,   3 t - 2 ,   t - 1 )

Assim, se r → = ( 2 + 2 t ,   3 t - 2 ,   - 1 ) e s → = ( 2 ,   3 ,   1 ) , temos que fazer o produto interno entre eles e deve dar ZERO.

( 2 + 2 t ,   3 t - 2 ,   t - 1 ) ∙ 2 ,   3 ,   1 = 0

Resolvendo o produto interno:

4 + 4 t + 9 t - 6 + t - 1 = 0 → t = 3 14

Pronto achamos o vetor diretor da reta r :

r → = 34 14 ,   - 19 14 ,   - 11 14

Passo 4

Agora que já temos o vetor diretor e um ponto que pertence à reta r , falta escrevermos as equações paramétricas de r .

r → = 34 14 ,   - 19 14 ,   - 11 14     e     P = ( - 1 ,   3 ,   1 )

Multiplicando r → por 14 →   r → = 34 ,   - 19 ,   - 11

r :   x = - 1 + 34 t y = 3 - 19 t z = 1 - 11 t

Resposta

r :   x = - 1 + 34 t y = 3 - 19 t z = 1 - 11 t

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