Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

Ver Teoria

Enunciado

Mostre que as retas abaixo são concorrentes e determine o ponto de interseção entre elas.

r 1 : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e r 2 : x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t

Passo 1

Como o problema pede para mostrarmos que as retas são concorrentes, vamos mostrar que não são paralelas nem reversas.

Do enunciado tiramos os vetores diretores:

r 1 → = 2 ,   3 ,   4

r 2 → = ( 1 ,   - 1 ,   - 2 )

Assim, vamos ver se   r 1 → = α r 2 →

2 ,   3 ,   4 = α 1 ,   - 1 ,   - 2

Abrindo isso,

2 = 1 α →   α = 2 3 = - 1 α →   α = - 3 4 = - 2 α →   α = - 2

Como nenhum valor de α bate,   r 1 → e   r 2 → não são paralelos!

Agora, vamos checar se as retas são reversas!

Já conhecemos os vetores diretores:

r 1 → = 2 ,   3 ,   4

r 2 → = ( 1 , -   1 ,   - 2 )

E os respectivos pontos de cada reta são:

P 1 = 2 ,   0 ,   5

P 2 = ( 5 ,   2 ,   7 )

Fazendo P 2 - P 1 = 3 ,   2 ,   2 = P 1 P 2 →

Assim conseguimos montar nosso produto misto!

r 1 → , r 2 → ,   P 1 P 2 → = 2 3 4 1 - 1 - 2 3 2 2 = 0

Como o produto misto deu zero, os vetores são coplanares e as retas não são reversas!

Logo, só podem ser concorrentes 😊

Passo 2

Beleza, vamos achar o ponto de interseção agora!

Para facilitar a nossa visualização, vou passar a equação de r 1 para forma paramétrica:

r 1 : x = 2 + 2 s y = 0 + 3 s z = 5 + 4 s

r 2 a gente já conhece:

r 2 : x = 5 + t y = 2 - t z = 7 - 2 t

O ponto de interseção entre duas retas concorrentes é o ÚNICO ponto em que elas se cruzam, ou seja, é o único ponto em que suas coordenadas são iguais! Então, para achar esse ponto, basta igualar as coordenadas das duas retas! Temos os sistemas:

2 + 2 s = 5 + t 3 s = 2 - t 5 + 4 s = 7 - 2 t

Somando as duas primeiras equações:

2 + 5 s = 7

s = 5 5 = 1

Substituindo nas 3 equações:

2 + 2 1 = 5 + t

t = - 1

3 1 = 2 - t

t = - 1

5 + 4 1 = 7 - 2 t

t = - 1

Beleza, o t deu igual em todas (ufa!). Agora podemos achar o ponto!

Passo 3

Podemos usar qualquer uma das retas. Vou usar a r 1 :

x = 2 + 2 s = 4 y = 0 + 3 s = 3 z = 5 + 4 s = 9

Nosso ponto vale então: P i = 4,3 , 9

Resposta

P i = 4,3 , 9

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se as retas L 1 e L 2 são paralelas, reversas ou c
Dado que uma equação de l 1 2 x + 3 y - 5 = 0 e que uma equa
Três vértices consecutivos de um paralelogramo são (-4, 1),
Escreva uma equação cujo gráfico consista em todos os pontos