Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Sejam v → ,   w → ∈ V 3 tais que v → = 3 , w → = 2 e tais que a medida do ângulo entre v → e w → seja igual a π / 3 . Temos que a equação:

α v → - ω → × 2 v → + 3 w → = 3

Na incógnita real α tem duas soluções distintas. A soma dessas duas soluções é igual a:

a) - 4 / 3

b) 2 / 3

c) 4 / 3

d) - 2 / 3

e) - 1 / 3

Passo 1

Eaí galerinha, tudo na paz?

Nessa questão temos dois vetores v → e w → , cujos módulos valem:

v → = 3 w → = 2

E cujo ângulo entre vetores vale θ = π / 3 . Daí, também é falado que:

α v → - ω → × 2 v → + 3 w → = 3

Massa! Com essas informações o enunciado nos pede descobrir quanto vale a soma das soluções para α na equação acima. Tranquilo?!

Então gente, o essencial aqui é conseguir manipular essa equação. Para isso, precisamos lembrar de uma propriedade muito importante dos produtos vetoriais:

u → × v → + w → = u → × v → + u → × w →

Vamos buscar aplicar isso na equação dada, e depois usar também que:

c 1 v → × c 2 w → = c 1 v → ⋅ c 2 w → ⋅ s e n   θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores v → e w → .

Show? Vamo simbora!

Passo 2

Bom, como comentamos, devemos usar a propriedade:

u → × v → + w → = u → × v → + u → × w →

Na equação:

α v → - ω → × 2 v → + 3 w → = 3

Para isso, vamos chamar:

u → = α v → - w →

Assim, reescrevendo a equação:

u → × 2 v → + 3 w → = 3

Perfeito! Agora está mais fácil de aplicar a propriedade. Teremos que:

u → × 2 v → + 3 w → = u → × 2 v → + u → + 3 w → = 3  

Show, vamos tirar o u da jogada substituindo por α v → - w → :

α v → - w → × 2 v → + α v → - w → × 3 w → = 3

Aplicando novamente a propriedade, temos:

α v → - w → × 2 v → + α v → - w → × 3 w →  

= α v → × 2 v → - w → × 2 v → + α v → × 3 w → - w → × 3 w →

= 3

Excelente!

Passo 3

No passo anterior chegamos que:

α v → - w → × 2 v → + α v → - w → × 3 w →

= α v → × 2 v → - w → × 2 v → + α v → × 3 w → - w → × 3 w →  

Agora, podemos usar que:

c 1 v → × c 2 w → = c 1 v → ⋅ c 2 w → ⋅ s e n   θ

Por essa equação, se temos um produto vetorial entre vetores paralelos, tipo:

w → × 3 w →

Como eles são paralelos, o ângulo entre eles é zero. Assim,

w → × 3 w → = 3 w → 2 ⋅ s e n   0

= 0

O mesmo raciocínio vale para:

α v → × 2 v →

= 2 α ⋅ v → 2 ⋅ s e n   0

= 0

Substituindo esses resultados de volta na nossa expressão, chegamos que:

α v → × 2 v → - w → × 2 v → + α v → × 3 w → - w → × 3 w →

= - w → × 2 v → + α v → × 3 w →

Perfeito! Podemos usar ainda que:

u → × t → = - t → × u →

Assim:

- w → × 2 v → = 2 v → × w →

Portanto:

- w → × 2 v → + α v → × 3 w → = 3 α + 2 ⋅ v → × w →

= 3 α + 2 ⋅ v → ⋅ w → ⋅ s e n π 3

= 3 α + 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 2

= 3 α + 2 ⋅ 3

E, como falamos, tudo isso é igual a 3 . Logo:

3 α + 2 ⋅ 3 = 3

∴ 3 α + 2 = 1

Daí, temos duas possibilidades:

3 α + 2 = - 1 3 α + 2 = 1

Desenvolvendo a primeira, vem que:

3 α + 2 = - 1

⇒ 3 α = - 3

∴ α = - 1

Desenvolvendo a segunda, vem que:

3 α + 2 = 1

⇒ 3 α = - 1

∴ α = - 1 3

Perfeito!

Como o enunciado nos pede a soma das duas soluções, temos:

- 1 + - 1 3 = - 4 3

E, é isso gente! Dá letra a).

Espero que vocês tenham curtido a solução, até a próxima 😊

Resposta

Letra a).

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