Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Sejam m ∈ R e considere as retas:

r : X = 1,1 , 1 + λ 1 , m , 0 ,     λ ∈ R

s : X = 1,0 , 2 + λ 2 , m , 1 ,     λ ∈ R

Temos que r e s são reversas se, e somente se:

a )   m ≠ 1 ;

b )   m = 1 ;

c )   m ≠ - 1 ;

d )   m ≠ 2 ;

e )   m ≠ 0 .

Passo 1

Falaaa, beleza??? Bora lá para mais um probleminha. Essa questão fala sobre retas reversas, para fazermos o problema, temos que lembrar o que ocorre para que duas retas sejam reversas, consegue lembrar? Caso contrário, vamos ver isso:

r e s são reversas se, e somente se, r não intersecta s e não são paralelas entre si

Nesse exercício, temos:

r : X = 1,1 , 1 + λ 1 , m , 0 ,     λ ∈ R

s : X = 1,0 , 2 + λ 2 , m , 1 ,     λ ∈ R

E, queremos calcular m de modo que r e s sejam reversas.

Ou seja, nossa ideia será achar qual m faz com que as retas se cruzem e assim saberemos qual valor não pode ocorrer. Basicamente vamos fingir que o problema é para achar um valor de m tal que elas se intersectam e no final tiramos esse carinha.

Passo 2

Para isso, vamos notar que

r : ( 1 + λ ,   1 + λ m ,   1 )

s : 1 + 2 λ ,   λ m ,   2 + λ

Ou seja, vamos tomar

P = 1 + λ P ,   1 + λ P m ,   1   ∈ r

Q =   1 + 2 λ Q ,   λ Q m ,   2 + λ Q ∈ s

Como foi dito, vamos achar quando elas se cruzam, ou seja P = Q .

1 + λ P ,   1 + λ P m ,   1 = 1 + 2 λ Q ,   λ Q m ,   2 + λ Q

Ou Seja:

1 + λ P = 1 + 2 λ Q 1 + λ P m = λ Q m 1 =   2 + λ Q

Na última temos que λ Q =   - 1 , colocando isso na primeira, temos que λ P =   - 2

Por isso, a segunda equação fica:

1 - 2 m = - m  

→ m = 1

Passo 3

Como foi dito, forçamos que P ∈ r   seja igual a Q ∈ s , nesse caso, P = Q ocorre para m = 1 , ou seja, como queremos as retas reversas queremos tirar esse caso, por isso nossa resposta é m ≠ 1 .

Vale lembrar que as retas não são paralelas pois:

1 , m , 0 ≠ ( 2 , m , 1 )

Independentemente do valor que m assumir.

Assim chegamos ao fim de mais um problema, bora para o próximo?

Resposta

Letra A

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