Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Em E 3 , seja π o plano que contém o ponto B = ( 0,1 , - 3 ) e a reta r de equação X = 1,0 , 1 + t 0,2 , 1 ,   t ∈ R . A equação da reta perpendicular a π e que passa pelo ponto C = ( 1,0 , - 1 ) é:

a   X = 1,0 , - 1 + λ - 3,1 , 2

b   X = - 8 , - 1 , - 1 + λ - 9 , - 1,2

c   X = - 8 , - 1,1 + λ - 9 , - 1,2

d   X = 1,0 , - 1 + λ 9,1 , 2

e   X = - 8 , - 1,1 + λ 9,1 , 2

Passo 1

Faaaaala, blz??? Então, vamos entender o que tá rolando e o que precisamos.

Temos um plano, um ponto nele e outros infinitos pontos do plano (que estão na reta). Dessas 2 informações conseguimos tirar 2 vetores de π , com isso conseguimos achar um vetor perpendicular a ele e depois achamos a equação do plano. Vamos focar nisso.

Veja que B = ( 0,1 , - 3 ) e X 0 = 1,0 , 1 são pontos do plano, além disso, o vetor 0,2 , 1 pertence ao plano, pois é o vetor diretor da reta r e a reta r está no plano.

B X 0 → = 1,0 , 1 - 0,1 , - 3 = ( 1 , - 1,4 )

Agora usaremos uma propriedade importante de produto vetorial:

Seja w → = B X 0 →   × 0,2 , 1   temos que w → é perpendicular ao plano, pois os dois vetores do produto vetorial pertencem a π .

w → = B X 0 →   × 0,2 , 1 = ( - 9 , - 1,2 )

Passo 2

Ou seja, temos que um plano qualquer pode ser escrito da forma:

a x + b y + c z = d

Onde a , b , c é o vetor perpendicular a ele.

Logo, temos que no caso especifico do plano da questão, temos:

- 9 x - y + 2 z = d

Além disso, como B ∈ π :

- 9 0 - 1 + 2 - 3 = d   → d = - 7

Logo π :   - 9 x - y + 2 z = - 7

Passo 3

Agora, vamos fazer uma leve reflexão do que temos.

Temos um plano (já sabemos a equação) e queremos achar uma reta perpendicular a ele, passando por um ponto específico C (dado). Além disso, uma reta pode ser escrita da forma parametrizada (como está nas alternativas), para escrever dessa forma basta termos um ponto dela e o vetor paralelo a ela.

Como foi dito, o vetor ( - 9 , - 1,2 ) é perpendicular ao plano, e portanto, paralelo à reta pedida.

Ou seja, temos as letras B e C como possíveis respostas, porém veja que o ponto C pertence à reta da letra C, basta tomar λ = - 1 :

  X = - 8 , - 1,1 - 1 - 9 , - 1,2 = 1,0 , - 1 = C

Resposta

Letra C

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