Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Em E 3 , seja r a reta de equação X = 0,1 , 2 + t ( 1 , - 1 , - 1 ) e s a reta de equação

2 x + y + z = 2 x - y + 2 z = 4

Então a distância entre r e s vale

a ) 6 3

b )   2 3

c ) 6 6

d ) 6 2

e )   3

Passo 1

Falaaaa, tranquilo?? Bora começar essa questão ajustando a reta s para facilitar nossa visualização:

2 x + y + z = 2 x - y + 2 z = 4

Somando as duas:

3 x + 3 z = 6   → x + z = 2   ∴ x = 2 - z

Colocando na primeira:

2 2 - z + y + z = 2   → 4 - 2 z + y + z = 2   ∴ y = z - 2

Conseguimos escrever, portanto, a reta sendo:

z = y + 2 = 2 - x

Se fizermos z = t :

s :   x = 2 - t       y = - 2 + t z = 0 + t       ,     t ∈ R

Ou seja, 2 , - 2 , 0 ∈ s   e   - 1,1 , 1   é o vetor diretor de s

Além disso, vamos escrever a reta r dessa forma:

r :   x = 0 + t y = 1 - t z = 2 - t

Daqui, tiramos que 0,1 , 2 ∈ r   e   ( 1 , - 1 , - 1 ) é o vetor diretor de s

Passo 2

Agora conseguimos ver, de forma mais fácil, que o vetor diretor de s é igual a menor o vetor diretor de r, ou seja, as retas são paralelas.

Passo 3

Agora, a distância entre retas paralelas é igual a distância de um ponto delas até a reta, além disso usaremos fórmula para calcular a distância entre ponto e reta.

Vamos tomar P 0 = 0,1 , 2 ∈ r ,     v → = - 1,1 , 1   e   P 1 = ( 2 , - 2 , 0 ) ∈ s

A distância entre P 0   e   s   é :

d r , s = d P 0 , s = v → × P 1 P 0 → v →

P 1 P 0 → = 0,1 , 2 - 2 , - 2 , 0 = ( - 2 , 3 , 2 )

v → × P 1 P 0 → = - 1 , 0 , - 1 ∴ v → × P 1 P 0 → =   2

v → = 3

d r , s = 2 3 = 6 3

Resposta

Letra a

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