Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Em E 3 , considere o ponto A = ( 1,8 , 1 ) , a reta r de equação x - 1 2 = y 2 = z e o plano π : x + y = 0 . Seja P o ponto de interseção da reta r com o plano que passa por A e é paralelo a π . É correto afirmar que P é igual a:

a )   ( 3,2 , 1 )

b )   ( 3,2 , 3 )

c )   ( 1,0 , 0 )

d )   ( 5,4 , 2 )

e )   ( 5,4 , 0 )

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar essa questão lembrando de um conceito que usaremos aqui:

Um plano qualquer π de equação a x + b y + c z = d tem como vetor perpendicular a ele, ou também chamado de normal ao plano, o vetor ( a , b , c ) formado pelos coeficientes da equação.

Usaremos isso para achar quem é o plano que passa por A e é paralelo a π

Usando esse conceito acima, podemos dizer que o plano da questão ( π : x + y = 0 )   tem como vetor normal v → = ( 1,1 , 0 ) . Como o plano que queremos achar é paralelo a π , podemos dizer que v → é perpendicular a ele, também. Ou seja, chamando esse plano que queremos achar de π 2 , sabemos que ele é do tipo:

π 2 : x + y = d

Passo 2

Bom, além disso, sabemos que A ∈ π 2 ,   o u   s e j a :

1 + 8 = d   → d = 9

Com isso:

π 2 : x + y = 9

Passo 3

Agora, vamos reescrever, para a forma parametrizada, a reta dada no enunciado. Para isso iremos igualar a equação a um t ∈ R e isolar cada variável em função dele.

  x - 1 2 = y 2 = z = t

{ x = 2 t + 1   y = 2 t                 z = t                      

Agora, queremos o ponto da reta que intersecta o nosso plano π 2 , ou seja, basta substituir os pontos x , y   e   z   e m   π 2 .

x + y = 9 → 2 t + 1 + 2 t = 9   ∴ t = 2

Logo:

{ x = 5                       y = 4                       z = 2                      

Portanto P = ( 5,4 , 2 )

Resposta

Letra d

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