Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Estude a posição relativa das retas:

r 1 : x - 2 2 = y 3 = z - 5 4 e r 2 : x + 5 - 1 = y + 3 = z - 6 3

Passo 1

Vamos começar vendo se os vetores diretores são proporcionais!

Do enunciado tiramos os vetores diretores:

r 1 → = 2 ,   3 ,   4

r 2 → = ( - 1 ,   1 ,   3 )

Assim, vamos ver se   r 1 → = α r 2 →

2 ,   3 ,   4 = α - 1 ,   1 ,   3

Abrindo isso,

2 = - 1 α →   α = - 2 3 = 1 α →   α = 3 4 = 3 α →   α = 4 3

Como nenhum valor de α bate,   r 1 → e   r 2 → não são paralelos!

Passo 2

Agora, vamos checar se as retas são reversas!

Já conhecemos os vetores diretores:

r 1 → = 2 ,   3 ,   4

r 2 → = ( - 1 ,   1 ,   3 )

E os respectivos pontos de cada reta são:

P 1 = 2 ,   0 ,   5

P 2 = ( - 5 ,   - 3 ,   6 )

Fazendo P 2 - P 1 = - 7 ,   - 3 ,   1 = P 1 P 2 →

Assim conseguimos montar nosso produto misto!

r 1 → , r 2 → ,   P 1 P 2 → = 2 3 4 - 1 1 3 - 7 - 3 1 = 0

Como o produto misto deu zero, os vetores são coplanares e as retas não são reversas!

Passo 3

As retas não são paralelas (pois r 1 → ≠ α r 2 → ) nem reversas (pois r 1 → , r 2 → ,   P 1 P 2 → = 0 ). Logo, só podem ser concorrentes!

Resposta

Concorrentes!

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