Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Sejam r e s as retas reversas, passando por A e B e por C e D respectivamente. Obtenha uma equação vetorial da reta t , concorrente com r e s , e paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 5 ,   - 1 ) .

Dados: A = 0 ,   1 ,   0 ,   B = 1 ,   1 ,   0 ,   C = - 3 ,   1 ,   - 4 e D = ( - 1 ,   2 ,   - 7 ) .

Passo 1

Preparado para mais um exercício sobre posição de retas??

Isso aí!! Nesse exercício vamos utilizar algumas estratégias que ainda não usamos. Então, bora começar!!

Vamos retirar os dados do enunciado:

Dados:

r :   A = 0 ,   1 ,   0   B = 1 ,   1 ,   0             s : C = - 3 ,   1 ,   - 4 D = ( - 1 ,   2 ,   - 7 )                     t : c o n c o r r e n t e   c o m   r   e   s p a r a l e l o   à   v → = ( 1 ,   - 5 ,   - 1 )

Além disso, r e s são reversas, ou seja, retas que não são paralelas e não tem ponto em comum.

O enunciado disse que t   é concorrente com r e s , e paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 5 ,   - 1 ) .

Se t é concorrente com r e s , é porque existe uma ponto comum entre t   e   r (que chamaremos de P ) e um ponto em comum entre t   e   s (que chamaremos de Q ). Com esses dados podemos desenhar o seguinte esquema:

Passo 2

Criamos os pontos P e Q que pertencem a reta t , mas não temos nenhuma informação sobre eles. Como P também pertence a r e Q também pertence a s , para sabermos a cara desses pontos precisamos das equações gerais das retas r e s .

Vamos começar com a reta r :

A r e essa reta é formada pelos pontos A e B podemos escrever que seu vetor diretor é A B → e que o ponto pertencente à reta é A . Poderia ter escolhido o vetor B A → como diretor, como o ponto B como pertencente à reta. Calculando A B → , podemos escrever a equação geral da reta r :

A B → = B - A = 1 ,   1 ,   0 - 0 ,   1 ,   0 = ( 1 ,   0 ,   0 )

r : x ,   y ,   z = 0 ,   1 ,   0 + t ( 1 ,   0 ,   0 )

Com a expressão vetorial da reta r , podemos escrever o ponto P que será da forma:

P = ( t ,   1 ,   0 )

Beleza?!

Faremos o mesmo para determinar o ponto Q , mas agora com a reta s :

Os pontos C e D pertence a reta s e podemos escolher o vetor diretor C D → e o ponto C , para encontrar a equação geral de s :

C D → = D - C = - 1 ,   2 ,   - 7 - - 3 ,   1 ,   - 4 = ( 2 ,   1 ,   - 3 )

Escolhendo o ponto C , Temos que a reta s   como:

s : x ,   y ,   z = - 3 ,   1 ,   - 4 + λ ( 2 ,   1 ,   - 3 )

Com a expressão vetorial da reta s , podemos escrever o ponto Q que será da forma:

Q = ( - 3 + 2 λ ,   1 + λ ,   - 4 - 3 λ )

Pronto!! Temos P e Q . Lembrando que escolhemos t e λ porque são diferentes retas, logo, não podemos usar o mesmo parâmetro.

Passo 3

Agora que temos P e Q , vamos para a segunda parte da resolução!!

Pelo enunciado sabemos que a reta é paralela ao vetor v → = ( 1 ,   - 5 ,   - 1 ) . Se   t é paralela à v → , t também paralelo ao vetor formado pelos pontos P e Q , Logo temos que v → é paralelo ao vetor P Q → :

v → = α P Q →

Vamos encontrar primeiro o vetor P Q → (que será em função de t   e λ ):

P Q → = Q - P = ( - 3 + 2 λ ,   1 + λ ,   - 4 - 3 λ ) - t ,   1 ,   0 = ( - 3 + 2 λ - t ,   λ , -   4 - 3 λ )

Substituindo os valores em v → = α P Q → :

1 ,   - 5 ,   - 1 = α ( - 3 + 2 λ - t ,   λ , -   4 - 3 λ )

Podemos montar sistema com três equações e três incógnitas α , t   e λ

1 =   α ( - 3 + 2 λ - t )       ( 1 )

- 5 =   α λ                                                 ( 2 )

- 1 =   α - 4 - 3 λ             ( 3 )

Isolando λ na segunda equação temos

λ = - 5 α

Substituindo o valor de λ na equação ( 3 ) e encontrando o valor de α :

- 1 = α - 4 - 3 - 5 α →   α = 4

Tendo α = 4 , encontramos o valor de λ :

λ = - 5 α → λ = - 5 4

Substituindo α = 4 e λ = - 5 4 na equação ( 1 ) , temos o valor de t :

1 =   α - 3 + 2 λ - t → t = - 23 4

Chegamos nos três valores:

α = 4 ,   λ = - 5 4 ,   t = - 23 4  

Agora podemos substituir esses valores para encontrar os pontos P e Q :

P = t ,   1 ,   0 → P = - 23 4 ,   1 ,   0

Q = - 3 + 2 λ ,   1 + λ ,   - 4 - 3 λ →   Q = - 22 4 , - 1 4 , - 1 4

Passo 4

Está quase terminando!! Só falta escrevermos a equação vetorial!! Temos o vetor diretor que é v → = ( 1 ,   - 5 ,   - 1 ) e temos dois ponto: P e Q . Escolhendo qualquer um deles, por exemplo, P , escrevemos a equação vetorial:

P = t ,   1 ,   0 → P = - 23 4 ,   1 ,   0

Q = - 3 + 2 λ ,   1 + λ ,   - 4 - 3 λ →   Q = - 22 4 , - 1 4 , - 1 4

Resposta

t : X = - 23 4 ,   1 ,   0 + µ ( 1 ,   - 5 ,   - 1 )

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