Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Considere as retas r e s dadas respectivamente pelas equações:

r : X = 4,0 , 0 + λ 0,1 , 1 ,       λ ∈ R

e

s : x 2 = - y - 2 = z .

Se t for a reta perpendicular comum a r e s e se P = ( a , b , c ) for o ponto da intersecção de r e t , então a + b + c será igual a:

a) 4 ;

b) 10 ;

c) 2 ;

d) 6 ;

e) 8 .

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo tranquilo com vocês?

Nessa questão temos duas retas r e s , dadas por:

r : X = 4,0 , 0 + λ 0,1 , 1 ,       λ ∈ R s : x 2 = - y - 2 = z .

E, é traçada uma reta t perpendicular a essas duas. Daí, o enunciado diz que o ponto de intersecção entre r e t é ( a , b , c ) , e ele quer saber quanto vale a + b + c . Beleza?

Pois então, pra responder esse exercício precisamos primeiro calcular o ponto de intersecção entre r e t . Para isso, podemos determinar uma expressão para a reta t (usando que ela é formada por um ponto em r e outro em s ).

E, em seguida usamos que como r ⊥ t , vale que o produto escalar dos vetores direção de r e t é nulo:

r ^ ⋅ t ^ = 0

Show?! Então, vamo lá!

Passo 2

Pra começar, vamos buscar determinar a equação de t .

Sabemos que um dos pontos de t pertence a r . É justamente o ponto P que o enunciado nos pede para descobrir.

Mas, como a equação de r vale:

X = 4,0 , 0 + λ 0,1 , 1 ,

Temos que P é da forma:

P = ( 4 ,   λ ,   λ )

Massa! Então esse é o primeiro ponto de t .

Pensando agora em s , ela também tem intersecção com t . Vamos chamar esse ponto em comum de Q . Para escrevermos Q   de forma semelhante ao que fizemos com P , precisamos mexer um pouco na nossa equação da reta s :

x 2 = - y - 2 = z

Vamos dizer que tudo isso é igual à λ , assim:

x 2 = μ - y - 2 = μ z = μ

Isolando x ,   y e z , temos:

x = 2 μ y = - μ - 2 z = μ

Ou seja, qualquer ponto ( x , y , z ) que pertence a s , pode ser representado como:

x , y , z = ( 2 μ ,   - μ - 2 ,   μ )

Perfeito! Então, podemos dizer que:

Q = 2 μ ,   - μ - 2 ,   μ

Assim, a direção da reta t , pode ser representada por uma reta que liga dois de seus pontos. Ou seja, P Q . Assim:

P Q = 4 ,   λ ,   λ - 2 μ ,   - μ - 2 ,   μ

= ( 4 - 2 μ ,   λ + μ + 2 ,   λ - μ )  

Excelente gente! Já descobrimos a direção de t , agora é só aplicarmos o produto escalar.

Passo 3

Como havíamos falado no passo 1 , dado que t é perpendicular a r , o produto escalar dos vetores direção de r e t é nulo.

Massa!

A reta r é dada por:

r : X = 4,0 , 0 + λ 0,1 , 1

Assim, o seu vetor direção será dado por:

( 0,1 , 1 )

Fazendo o produto escalar com P Q   ( que representa a direção de t ), temos:

0,1 , 1 ⋅ 4 - 2 μ ,   λ + μ + 2 ,   λ - μ = 0

= λ + μ + 2 + λ - μ

= 2 λ + 2 = 0

Logo:

∴ λ = - 1

Mas, como vimos:

P = 4 , λ ,   λ

= 4 ,   - 1 ,   - 1

Portanto, a soma das coordenadas do ponto P vale:

a + b + c = 4 + - 1 + - 1

= 2

Prontinho! Matamos mais uma questão 😉

Obrigado pela atenção gente.

Resposta

Letra c)

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