Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Em E 3 , seja t a reta que passa pelo ponto P = ( 1,1 , 1 ) e é concorrente com as retas

r : x + 3 = y - 2 2 = z - 1 3   e   s : X : - 2,0 , 4 + μ 1,1 , - 1     ( μ ∈ R )

Se t → = ( 1 , a , b ) é um vetor diretor de t, então a + b é igual a

a ) 7 8

b ) - 2

c )   4

d )   3

e ) - 4

Passo 1

Falaaa, blz?? Bora começar essa questãozinha envolvendo retas concorrentes:

Primeiro vamos pensar de que forma podemos atacar o problema. Veja que ele pede um vetor diretor de t, e de que forma aparece o vetor diretor??

O vetor diretor de uma reta aparece quando escrevemos ela de forma parametrizada, bora fazer isso com a reta r para manter esse padrão?

r : x + 3 = y - 2 2 = z - 1 3

Tomaremos x = t :

Daqui, tiramos da primeira igualdade:

t + 3 = y - 2 2 → y = 8 + 2 t

Olhando para a segunda igualdade:

t + 3 = z - 1 3 → z = 10 + 3 t

Ou seja, conseguimos escrever a equação da reta r da forma:

r :   x = t y = 8 + 2 t z = 10 + 3 t

Passo 2

Bom, agora que já arrumamos a reta r para o jeito que queríamos, podemos fazer o mesmo para a reta t, usando que 1,1 , 1 ∈ t   e   1 , a , b   é   d i r e t o r   d e   t .

t :   x = 1 + s y = 1 + a s z = 1 + b s

Agora iremos fazer a única coisa que podemos, usar o fato de t ser concorrente a r, primeiramente:

t ∩ r :   t = 1 + s 8 + 2 t = 1 + a s 10 + 3 t = 1 + b s

Colocando a primeira equação na segunda:

8 + 2 1 + s = 1 + a s → 8 + 2 + 2 s = 1 + a s

a s - 2 s = 9 → s = 9 a - 2

Colocando na terceira equação:

10 + 3 1 + s = 1 + b s

10 + 3 + 3 s = 1 + b s → b s - 3 s = 12 ∴ s = 12 b - 3

Igualando os dois valores achados para s, temos:

9 a - 2 = 12 b - 3 → 9 b - 27 = 12 a - 24 ∴ 9 b - 12 a = 3

Isso agora nos da uma alegria, pois já achamos uma relação entre a , b . Falta achar mais uma.

Passo 3

Bora agora fazer a outra interseção:

s ∩ r :   - 2 + μ = 1 + s μ = 1 + a s 4 - μ = 1 + b s

Ajustando a primeira:

μ = 3 + s

Colocando isso na segunda:

3 + s =   1 + a s → a s - s = 2 ∴ s = 2 a - 1

Colocando na última:

4 - 3 + s = 1 + b s → b s + s = 0 ,   e n t ã o   s b + 1 = 0 → b = - 1

Pois s = 2 a - 1 ≠ 0

Agora é correr para o abraço, bora colocar esse valor de b achado na primeira equação achada:

9 b - 12 a = 3 →   - 9 - 12 a = 3 ∴ a = - 1  

Ou seja a + b =   - 1 - 1 = - 2

Uma questão com conceitos mais tranquilos, porém com um trabalho considerável de contas, mas no final deu tudo certo, bora para a próxima?

Resposta

Letra B

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