Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Sejam as retas r : X = - 5 ,   - 4 ,   1 + λ ( 3 ,   3 ,   1 ) e s : X = 2 ,   3 ,   6 + λ ( 1 ,   1 ,   3 ) .

a) Determine a posição relativa entra as retas r e s .

b) Determine as equações paramétricas para a reta perpendicular comum às retas r e s .

Passo 1

a) Antes vamos observar os vetores diretores das retas: r → = ( 3 ,   3 ,   1 ) e s → = ( 1 ,   1 ,   3 ) .

r → e s → não são múltiplos, pois não existe α tal que s → = α r → . Logo, já sabemos que as retas não são paralelas.

O próximo passo é fazer o produto misto entre r → , s → e A B → , sendo A um ponto de r e B um ponto de s .

Passo 2

De acordo com a equação das retas, o ponto A = ( - 5 ,   - 4 ,   1 ) pertence à reta r , assim como o ponto B = ( 2 ,   3 ,   6 ) pertence à reta s .

Logo, o vetor A B → é

A B → = B - A = ( 7 ,   7 ,   5 )

Passo 3

Calculando o produto misto [ A B → , r → ,   s → ] :

A B → ,   r → ,   s → = 7 7 5 3 3 1 1 1 3 = 0

Opa, o produto misto deu 0!! Então as retas poderiam ser concorrentes, paralelas distintas ou iguais certo?

Porém já vimos lá no passo 1 que r → e s → não são paralelos, logo as retas não podem ser nem paralelas distintas e nem iguais.

Ou seeeja, elas são CONCORRENTES!! :D

Abaixo temos em laranja a reta r e em verde a reta s

Passo 4

b) Essa reta perpendicular a r e s vai ter como vetor diretor o produto vetorial de r → e s → (pois este vai ser perpendicular às duas retas) e vai passar pelo ponto de intersecção entre as duas retas beleza?

Primeiro vamos encontrar a intersecção de r e s , para isso, vamos trocar o parâmetro λ de s pelo parâmetro t beleza? Então nossas retas são:

r : X = - 5 ,   - 4 ,   1 + λ ( 3 ,   3 ,   1 )

s : X = 2 ,   3 ,   6 + t ( 1 ,   1 ,   3 )

Um ponto genérico de r é R = ( - 5 + 3 λ ,   - 4 + 3 λ ,   1 + λ ) e um ponto genérico de s é S = ( 2 + t ,   3 + t ,   6 + 3 t ) . O ponto de intersecção das retas vai ser dado quando R = S :

- 5 + 3 λ ,   - 4 + 3 λ ,   1 + λ = ( 2 + t ,   3 + t ,   6 + 3 t )

Igualando cada coordenada, temos o sistema:

- 5 + 3 λ = 2 + t - 4 + 3 λ = 3 + t 1 + λ = 6 + 3 t

Passo 5

Da terceira equação, temos que λ = 3 t + 5 . Vamos substituir isso na segunda equação:

- 4 + 3 ( 3 t + 5 ) = 3 + t

- 4 + 9 t + 15 = 3 + t

8 t = - 8

t = - 1

(a gente também poderia ter encontrado o λ , no final o ponto de intersecção vai ser o mesmo)

Boaaa, então o ponto de intersecção de r e s vai ser dado quando t = - 1 no ponto genérico S :

S = ( 1 ,   2 ,   3 )

Então já sabemos que a reta p , perpendicular a r e s , vai passar pelo ponto S = ( 1 ,   2 ,   3 ) :D Agora vamos encontrar o vetor diretor dela.

Passo 6

Fazendo o produto vetorial r → ∧ s → :

r → ∧ s → = i ^ j ^ k ^ 3 3 1 1 1 3 = 8 i ^ - 8 j ^ = ( 8 ,   - 8 ,   0 )

Ou sejaa, a reta p vai ter como vetor diretor o vetor p → = ( 8 ,   - 8 ,   0 )

Passo 7

Já temos tudo que precisamos para escrevermos a equação paramétrica da reta p :

p :   x = 1 + 8 λ y = 2 - 8 λ z = 3

Abaixo temos em preto a reta p :

Resposta

a) Concorrentes

b) p :   x = 1 + 8 λ y = 2 - 8 λ z = 3

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