Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Considere as retas r :   X = 1 ,   0 ,   - 2 + λ ( 2 ,   - 1 ,   1 ) e s : 2 x - y + 2 z = 5 x + 2 y - 2 z = 3

a) Escreva equações paramétricas para a reta s .

b) Mostre que r e s são concorrentes.

c) Escreva equações paramétricas para a reta que corta r e s perpendicularmente.

Passo 1

a) Primeiramente, a gente pode somar as duas equações que definem a reta s , obtendo

2 x + x - y + 2 y + 2 z - 2 z = 8

3 x + y = 8

y = 8 - 3 x   ( I )

Beleza, a gente encontrou y em função de x , então bora substituir isso na primeira equação de s ? (pode ser na segunda também, você que sabe :P)

A primeira equação é

2 x - y + 2 z = 5

Substituindo y pela expressão ( I )

2 x - ( 8 - 3 x ) + 2 z = 5

5 x - 8 + 2 z = 5

5 x + 2 z = 13

Vamos isolar a variável z

z = 13 - 5 x 2   ( I I )

Passo 2

Ok, precisamos de um ponto pertencente à reta s para encontrarmos sua equação paramétrica. Pra isso, vamos atribuir um valor qualquer a x para aí encontrarmos os valores de y e z .

Se atribuirmos x = 1 (novamente, você que escolhe o valor :P):

Da expressão ( I ) teremos que y = 5

E da expressão ( I I ) teremos que z = 4

Passo 3

O ponto nós já temos, agora só falta o vetor diretor.

Atribuindo x = 1 + 2 t (sendo que esse 1 vem do ponto que encontramos no passo anterior) e substituindo, respectivamente, em ( I ) e ( I I ) :

y = 5 - 6 t

z = 4 - 5 t

Logo, a equação paramétrica de s vai ser

s : x = 1 + 2 t y = 5 - 6 t z = 4 - 5 t

Sendo que o vetor diretor de s é ( 2 ,   - 6 ,   - 5 )

Passo 4

b) Pra que as duas retas sejam concorrentes, elas devem ter um ponto de intersecção, ou seja, tem que existir algum ponto onde x , y e z são iguais, assim:

x :   1 + 2 t = 1 + 2 λ   ( I I I )

y :   5 - 6 t = - λ   ( I V )

z :   4 - 5 t = - 2 + λ   ( V )

Da expressão ( I I I ) , a gente chega que λ = t

Substituindo λ = t na expressão ( I V ) , temos que t = 1 , então o λ também vale 1 certo?

Substituindo λ = 1 e t = 1 na expressão ( V ) , chegamos que - 1 = - 1 , o que é verdadeiro, logo, esse sistema possui solução e então r e s de fato possuem um ponto de intersecção :D

Pra encontrar esse ponto de encontro é só substituir λ = 1 ou t = 1 na equação de qualquer uma das retas, o ponto encontrado vai ser E = ( 3 ,   - 1 ,   - 1 ) .

Passo 5

c) Ta, antes de qualquer coisa, vamos ver a figura abaixo

Aqui r é a reta preta, s é a reta roxa e o ponto E é o ponto que encontramos no item anterior.

Pra uma reta l cortar r e s ao mesmo tempo de maneira perpendicular, ela precisa necessariamente passar pelo ponto E .

Além disso, o vetor diretor de l vai ser o produto vetorial do vetor diretor de r com o vetor diretor de s , isso porque esse produto vetorial com certeza vai ser perpendicular às retas, e isso é o que queremos ;)

Passo 6

Sabemos que o vetor diretor de r é v r → = ( 2 ,   - 1 ,   1 ) enquanto o de s é v s → = ( 2 ,   - 6 ,   - 5 ) .

Bora fazer o produto vetorial deles pra encontrar o vetor diretor de l :

v r ∧ v s = i ^ j ^ k ^ 2 - 1 1 2 - 6 - 5 = 11 i ^ + 12 j ^ - 10 k ^

Então, o vetor diretor de l vai ser v l → = ( 11 ,   12 ,   - 10 )

Passo 7

Sabendo que l passa pelo ponto E e sabendo seu vetor diretor, podemos escrever sua reta paramétrica:

l :   x = 3 + 11 t y = - 1 + 12 t z = - 1 - 10 t

O desenho fica assim (sendo l a reta verde)

Resposta

a) s : x = 1 + 2 t y = 5 - 6 t z = 4 - 5 t

b) Demonstração.

c) l :   x = 3 + 11 t y = - 1 + 12 t z = - 1 - 10 t

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