Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

03) Seja a ∈ R . A cônica de equação 2 x y + 3 x - y + a = 0 é um par de retas concorrentes se, e somente se, a for igual a:

A) - 3 / 2

B) - 7 / 3

C) 9 / 2

D) 7 / 2

E) 5 / 3

Passo 1

Faaaalaa galerinha, como vocês estão?

Nessa questão temos uma cônica de equação:

2 x y + 3 x - y + a = 0

Ela tem uma equação meio esquisita porque está rotacionada (sempre que há o termo x y na equação temos uma cônica rotacionada).

O objetivo desse exercício é determinar a de modo que essa cônica seja um par de retas concorrentes. Tudo beleza até aqui?

Massa! A grande dificuldade desse tipo de questão é o fato da cônica estar rotacionada, pois a sua equação não fica com a cara de nenhuma das curvas clássicas que conhecemos (reta, parábola, elipse, etc).

Por isso, precisamos “desrotacionar” a cônica.

Hahaha! Basicamente vamos descobrir qual a equação dessa cônica quando ela não está rotacionada, e a partir disso vamos verificar a condição de a para que ela seja um par de retas concorrentes.

Vamo simbora!

Passo 2

Pra começar, vamos relembrar a equação geral das cônicas:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

Comparando com a equação dada para a nossa cônica temos que:

{ A = 0   B = 2   C = 0   D = 3   E = - 1   F = a  

Massa! Agora precisamos calcular o ângulo no qual essa cônica foi rotacionada, será que tem uma formulinha pra isso?

Simm, com certeza! O ângulo de rotação, θ , segue:

t g 2 θ = B A - C

Puts, mas A = C = 0 . Isso significa que t g ( 2 θ ) tende pro infinito. Logo:

2 θ = 90 °

∴ θ = 45 °

Bouaaa! Já achamos o ângulo de rotação.

Passo 3

O próximo passo é realizar a mudança dos eixos coordenados. Pra fazer essa mudança é só guardar essa equação matricial daqui:

x   y   = c o s θ   - s e n θ   s e n θ   c o s θ   ⋅ x '   y '  

Como θ = 45 ° , temos que:

x   y   = 2 2   - 2 2   2 2   2 2   ⋅ x '   y '  

Daí, temos duas equações:

{ x =   2 2 ⋅ x ' - 2 2 y '     ( I )   y =   2 2 x ' +   2 2 y '     ( I I )  

Massa! Aí, substituindo ( I ) e ( I I ) na equação dada da cônica, temos:

2 ⋅ 2 2 ⋅ x ' - 2 2 y ' ⋅ 2 2 x ' +   2 2 y ' + 3 ⋅ 2 2 ⋅ x ' - 2 2 y ' - 2 2 x ' +   2 2 y ' + a = 0

É galera, vai dar um trabalhinho de conta, mas bora lá!!

x ' 2 - y ' 2 + 2 x ' - 2 2 y ' + a = 0

∴ ( x ' 2 + 2 x ' ) - y ' 2 - 2 2 y ' + a = 0

Estamos quase lá galera! Agora é só “completar os quadrados”, pra equação ficar bem no formatozinho que queremos. Daí, vê só:

{ x ' 2 + 2 x ' = x ' 2 + 2 ⋅ 2 2 x ' + 1 2 - 1 2   y ' 2 - 2 2 y ' = y ' 2 - 2 y ' + 2 - 2  

Esse truque de somar e subtrair pelo mesmo número é só pra gente conseguir fechar o quadrado bonitinho. Vamos ficar com:

{ x ' 2 + 2 x ' = x ' + 2 2 2 - 1 2   y ' 2 - 2 2 y ' = y ' - 2 2 - 2  

Aí, substituindo novamente na nossa equação da cônica vamos ter que:

∴ x ' 2 + 2 x ' - y ' 2 - 2 2 y ' + a = x ' + 2 2 2 - y ' - 2 2 + 2 - 1 2 + a

Logo:

x ' + 2 2 2 - y ' - 2 2 + 2 - 1 2 + a = 0

Muito bom, galera! Essa é a equação da cônica no eixo ( x ' , y ' ) rotacionado. Para que essa equação se transforme em um par de retas concorrentes, devemos ter:

2 - 1 2 + a = 0

Portanto:

a =   - 3 2

É isso aí pessoal! Conseguiram pegar o passo a passo pra ajeitar a equação das cônicas?

Sucesso! Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😉

Resposta

Letra A: - 3 / 2 .

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