Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Considere o plano π dado pela equação:

π : x = λ , y = μ , z = 3 - λ - μ ,           λ ,   μ ∈ R

e seja Q = ( a , b , c ) o ponto simétrico ao ponto P = ( 1 , - 2,1 ) em relação a π , isto é, o ponto Q tal que o vetor P Q → seja ortogonal a π e o ponto médio do segmento P Q esteja em π . Temos que a + b + c é igual a:

a) - 6 ;

b) - 8 ;

c) 8 ;

d) 6 ;

e) - 2 .

Passo 1

Eaí gente, tudo de boa?

Nessa questão temos um plano π , e dois pontos: P = ( 1 , - 2,1 ) e Q = ( a , b , c ) .

Queremos justamente descobrir quem é Q , e fazer a + b + c para encontrar uma alternativa.

Sobre esses dois pontos é falado que P Q →   é ortogonal a π e que P e Q são simétricos em relação ao plano. Tranquilo?

Mas e aí, por onde começamos?

Então gente, um caminho legal é começar calculando o nosso vetor normal ao plano, para assim descobrir a equação da reta P Q → . Após descobrir a equação da reta, podemos usar o fato de Q estar em P Q → , como também a simetria, para encontrar ( a , b , c ) .

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar descobrindo quem é o vetor perpendicular ao plano.

Nos foi falado sobre π , que:

π : x = λ , y = μ , z = 3 - λ - μ ,           λ ,   μ ∈ R

Podemos dessa informação retirar a equação geral de π . Para isso, vamos somar x , y , z pois os termos λ e μ irão se anular. Assim:

x + y + z = λ + μ + 3 - λ - μ

⇒ x + y + z = 3

Isso é muito bom, pois na equação geral do plano:

a x + b y + c z = d

Vale que o vetor ( a , b , c ) é justamente o vetor normal ao plano. Assim:

n → = ( 1,1 , 1 )

é o vetor normal ao plano π .

Perfeito!

Vamos então determinar a equação da reta P Q → . Para isso, podemos lembrar que a equação de uma reta é dada por:

X = M + λ v →

Onde M é um ponto pertencente a reta, e v → é o vetor direção dela.

No caso de P Q → , temos que:

P = 1 , - 2,1 ∈ P Q →

E que, como a reta é normal ao plano, o vetor normal a π , n → , também é o vetor direção da reta. Logo:

P Q → : Y = 1 , - 2,1 + λ 1,1 , 1

Muito bom!

Passo 3

Agora que já encontramos a equação de P Q → , podemos usar a simetria de P e Q para encontrar Q .

Sendo R o ponto em π que também pertence a P Q → , podemos escrever que:

Q R → = R P → Q = P + P R → + Q R →

Logo:

Q = P + 2 P R →

Portanto, nosso trabalho agora se resume a encontrar a P R → :

Sabemos que R pertence tanto a π , como a P Q → . Da equação de P Q → , temos:

P Q → : Y = 1 , - 2,1 + λ 1,1 , 1

Y = 1 + λ ,   - 2 + λ ,   1 + λ

Então, R é do tipo:

R = 1 + λ ,   - 2 + λ ,   1 + λ  

Mas, de π , temos:

R ∈ π ⇒ x + y + z = 3

Logo:

1 + λ + - 2 + λ + 1 + λ = 3

3 λ = 3

∴ λ = 1

Assim:

R = 1 + 1 ,   - 2 + 1 ,   1 + 1

= ( 2 , - 1,2 )

Logo:

P R → = R - P

= 2 , - 1,2 - 1 , - 2,1

= ( 1,1 , 1 )

Voltando a:

Q = P + 2 P R →

Temos:

Q = 1 , - 2,1 + 2 1,1 , 1

Q = 3,0 ,   3 = a , b , c

Portanto galerinha:

a + b + c = 3 + 0 + 3

= 6

Letra d)

Prontinho!!

Matamos mais uma questão 😊

Resposta

Letra d): 6

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