Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Estude a posição relativa das retas

r : X = 1 ,   2 ,   3 + λ ( 0 ,   1 ,   3 ) e s : X = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

Passo 1

O enunciado nos da a equação vetorial das retas r e s . Devemos determinar a posição relativa entre as retas.

Dados: r :   r → = ( 0,1   , 3 ) R = ( 1 ,   2 ,   3 )               e                       s : s → = ( 0 ,   2 ,   6 ) S = ( 1 ,   3 ,   6 )

Bora começar a colocar os neurônios para aquecer!! haha

Passo 2

Como vimos na teoria, as retas podem ter 4 posições relativas: reversas, concorrentes, paralelas distintas ou paralelas coincidentes. Para saber se as retas são reversas ou coplanares, basta calcular o produto misto entre os vetores ( R S → ,   r → ,   s → ) . Mas, sempre que formos avaliar a posição entre duas retas devemos começar avaliando se os vetores das retas são proporcionais. Assim, se forem proporcionais significa que são paralelos. Então, se forem paralelos teremos que analisar se sõ distintos ou iguais. E, se os vetores não forem proporcionais, aí sim faremos o produto misto para decidir se as retas são reversas ou concorrentes. Vamos analisar:

r → = α s →

Temos, r → = ( 0,1   , 3 ) e s → = ( 0 ,   2 ,   6 ) , assim:

0 ,   1 ,   3 = 1 2 ( 0 ,   2 ,   6 )

Portanto, r → e s → são paralelos.

Passo 3

Como descobrir se são idênticas ou distintas?

Para saber se são idênticas ou distintas basta testar se um ponto de r , por exemplo ,   pertence a   s   também. Assim, vamos testar se o ponto R = ( 1 ,   2 ,   3 ) , pertence à s . Para isso, vamos substituir o ponto na equação vetorial da reta s :

s : X = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

1 ,   2 ,   3 = 1 ,   3 ,   6 + µ ( 0 ,   2 ,   6 )

Igualando coordenada a coordenada, temos:

x →   1 = 1

y →   2 = 3 + 2 µ →   µ = - 1 2

z →   3 = 6 + 6 µ →   µ = - 1 2

Portanto, o ponto R pertence à reta s também. Assim, r e s são paralelas coincidentes (iguais)

Resposta

P a r a l e l a s   C o i n c i d e n t e s   ( I g u a i s )

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