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Exercícios Resolvidos de Posições Relativas de Retas

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Enunciado

Considere as retas r 1 e r 2 de R 3 cujas equações paramétricas são

r 1 : 1 + t ,   2 t ,   1 - 2 t ,   t ∈ R

r 2 : a + 2 t ,   1 + t ,   10 + t ,   t ∈ R

A reta r 3 de equação cartesiana

r 3 :   x + y + z = 3 x - y + 2 z = 1

E o plano π de equação cartesiana

π : x + y + 2 z = 4

a) Determine o valor de a para que as retas r 1 e r 2 se interceptem em um ponto. Nesse caso (para o valor de a obtido) determine o ponto P de interseção das retas r 1 e r 2 .

Passo 1

Para que as retas se encontrem em um ponto, as suas coordenadas devem ser iguais certo?

Vamos igualar as coordenadas das suas retas, mas antes vamos trocar o parâmetro t de r 2 para p ok? Aí ficamos com r 2 : a + 2 s ,   1 + s ,   10 + s ,   s ∈ R

Igualando as coordenadas de r 1 com r 2 , temos o sistema

1 + t = a + 2 s 2 t = 1 + s 1 - 2 t = 10 + s

Somando as duas últimas equações:

1 = 1 + 10 + s + s

2 s = - 10

s = - 5

Passo 2

Substituindo s = - 5 na segunda equação:

2 t = 1 - 5

t = - 2

Agora, substituindo esses valores na primeira equação:

1 - 2 = a - 10

Então, para que as retas tenham um ponto em comum, ou seja, para que sejam concorrentes, temos que

a = 9

Passo 3

Para encontrar o ponto, vamos substituir t = - 2 em r 1 ou s = - 5 e a = 9 em r 2 , vai dar o mesmo ponto ok?

Substituindo t = - 2 em r 1 :

P = 1 - 2 ,   2 . ( - 2 ) ,   1 - 2 . ( - 2 )

P = - 1 ,   - 4 ,   5

Resposta

a = 9

P = - 1 ,   - 4 ,   5

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