Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Para cada k real, considere a transformação T : R 3 ⟶ R 3 dada por:

T x , y , z = k x + 2 y ,   2 x + k y + 2 z ,   2 y + k z

b   Para quais valores de k a transformação T é inversível?

Passo 1

Bom usando esse teorema aqui:

Podemos deduzir algumas coisas.

Sabemos que T é inversível se, e somente se, ela é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Pois bem, e ela for injetiva, pelo T N I :

dim ⁡ N u c T + dim ⁡ I m T = dim ⁡ D o m T ⇒

dim ⁡ I m T = dim ⁡ R 3 = 3

E como neste caso particular sabemos que a nossa T é T : R 3 ⟶ R 3 , possui domínio e CONTRADOMINIO iguais, logo, se ela for injetiva, então sempre será sobrejetiva.

Então, basta provarmos que T é injetiva para ela ser inversível.

Passo 2

Para T ser injetiva, usaremos o teorema do passo 1 . Quando a T é injetiva sabemos que seu núcleo só contém o 0 . E sabemos também que se N u c T = 0 ⇒ N u c T β = A = { 0 } , ou seja, se o núcleo da transformação é igual a zero, então o núcleo de qualquer representação dessa T L será zero.

Assim sendo, caso isso aconteça sabemos que T β é inversível e que, por sua vez, T é inversível. Este último passo, podemos justificar por:

T β - 1 T β = I ⇒

T - 1 ∘ T β = I

E se isso tudo acontecer, o determinante terá que ser:

det ⁡ T β = det ⁡ T ≠ 0

Passo 3

Assim, vamos construir a T ε .

ε = { 1,0 , 0 , 0,1 , 0 , 0,0 , 1 }

T 1,0 , 0 = k , 2 , 0

T 0,1 , 0 = 2 ,   k ,   2

T 0,0 , 1 = 0 ,   2 ,   k

Logo:

T ε = k 2 0 2 k 2 0 2 k

det ⁡ T ε = k 3 - 2 k - 2 k = k 3 - 4 k ≠ 0 ⇒

k 3 - 4 k ≠ 0 ⇒

k k 2 - 4 ≠ 0

Assim podemos ver que:

k ≠ 0

k ≠ ± 2

Resposta

k ≠ 0 ; k ≠ ± 2

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