Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Encontre os valores de λ para os quais det ⁡ A = 0 .

λ - 2 1 - 5 λ + 4

Passo 1

Opa meus lindos, tudo bem com vocês? Bora lá resolver essa questão! Aqui somos apresentados pra matriz:

λ - 2 1 - 5 λ + 4

Uma matriz um pouco “estranha” por que a gente tem essas variáveis λ , mas tudo nos conformes. E dela, temos que achar os valores que λ pode assumir para que o determinante da matriz seja igual a 0. Showzinho, então temos que começar calculando o determinante e tornando ele igual a 0. Você manja de como podemos calcular o determinante dessa matriz? Relaxa que eu te mostro.

Passo 2

Show, temos uma matriz 2X2. Pra o determinante dela, o método mais tranquilo é a gente fazer o produto dos elementos da diagonal principal subtraídos do produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja:

Pra nossa matriz, temos então:

λ - 2 1 - 5 λ + 4

D = λ - 2 λ + 4 - ( 1 ) ( - 5 )

D = λ 2 + 4 λ - 2 λ - 8 + 5

D = λ 2 + 4 λ - 2 λ - 3

D = λ 2 + 2 λ - 3

Show, conseguimos achar o determinante.

Passo 3

Belezinha, determinante encontrado. Agora, vamos adotar a condição que a questão impôs. Ou seja, o determinante ser igual a 0. Dessa forma temos:

0 = λ 2 + 2 λ - 3

Olha só, um polinômio! E ele tem diversas raízes, ou diversas soluções, pra isso ser igual a 0. Essas soluções são justamente os valores de λ que queremos. Aqui, basta a gente calcular pelo método de Bhaskara. Portanto, calculando o Δ :

Δ = 4 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 3 )

Δ = 4 + 12

Δ = 16

Calculando as raízes:

λ 1,2 = - b ± Δ 2 a

Dessa forma, as raízes pra esse polinômio, são:

λ 1 = 1

λ 2 = - 3

Portanto, esses são os valores que λ pode assumir para que o determinante da nossa matriz seja 0! E é isso gente boa!  Se ficou alguma dúvida, quer dar alguma sugestão ou reportar algum erro, manda um feedback pra gente! Vamos adorar ajudar você

Resposta

λ 1 = 1

λ 2 = - 3

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