Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

a Quais são as operações elementares sobre as linhas de uma amtriz que não alteram o valor de seu determinante?

b Calcule o determinante da matriz A = 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 .

c Essa matriz é inversível? Justifique.

Passo 1

a As operações elementares que não alteram o valor do determinante da matriz são do tipo:

L i ← L i + k L j

Ou seja, uma linha passa a valer ela mesma mais alguma outra linha vezes uma constante.

Passo 2

b Usando a operação que vimos na letra a , não alteraremos o determinante de A , portanto,

1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 = ⏟ L 1 ← L 1 - L 2 2 0 0 0 - 1 - 1 - 1 1 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 = ⏟ L 2 ← L 2 + L 3 2 0 0 0 0 0 - 2 0 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 1 = ⏟ L 3 ← L 3 - L 4 2 0 0 0 0 0 - 2 0 2 0 0 0 - 1 1 - 1 - 1

Opa, repara que nessa última matriz temos 2 linhas iguais!! Isso quer dizer que o determinante dela é zero! Logo, det ⁡ A = 0 .

Passo 3

c Como det ⁡ A = 0 , a matriz não é inversível.

Resposta

a L i ← L i + k L j

b det ⁡ A = 0

c Não é inversível pois det ⁡ A = 0

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