Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere o sistema linear A x = b , onde A é uma matriz 3 × 3 e b ∈ R 3 . Sem conhecer A e b , mas apenas a forma escalonada da matriz aumentada do sistema,

A b ~ 1 2 0 0 0 1 0 0 0 2 4 0 ,

Nós não podemos afirmar que:

a   A terceira entrada de qualquer solução de A x = b é 4

( b ) A x = 0,0 , 0 admite infinitas soluções

( c ) det ⁡ A = 0

( d ) A x = 2,4 , 0 admite solução

Passo 1

Vamos letra por letra:

a Se pegarmos nossa matriz aumentada escalonada e passarmos para a forma de sistema teremos:

x + 2 y = 2 z = 4

Opa, agora está clara a resposta dessa pergunta né? De fato, só vetores cuja terceira coordenada vale 4 podem ser solução desse sistema. Verdadeira.

Passo 2

b A matriz aumentada do sistema homogêneo A x = 0 seria:

A 0 ~ 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

x + 2 y = 0 z = 0

Todos os vetores solução teriam que ter a coordenada z igual a zero, pela primeira equação:

x + 2 y = 0 ⇒ x = - 2 y

Temos infinitos vetores solução da forma: - 2 y , y , 0 = y - 2,1 , 0

Essa também é verdadeira.

Passo 3

c Como na matriz aumentada temos uma linha de zeros isso quer dizer que a matriz A possuía linhas L D . Só com isso já podemos afirmar que o seu determinante vale zero! Verdadeira.

Passo 4

d Essa é a super pegadinha master haha. Não confunda o vetor b com o vetor b escalonado!!

Claramente na nossa matriz escalonada o vetor 2 , 4,0 possui solução! No entanto ele não era esse vetor antes do escalonamento! Ao escalonarmos a matriz também mudamos o vetor solução.

Também não podemos analisar a imagem de A pela matriz escalonada, pois ao escalonarmos uma matriz o espaço gerado por suas colunas é alterado (apesar da dimensão permanecer a mesma). Sendo assim, não podemos afirmar nada sobre A x = 2 , 4,0 admitir ou não solução.

Resposta

Letra ( d )

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