Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Identifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique.

  1. Se uma matriz quadrada A 3 × 3 tem det ⁡ A = 2 , então a nulidade de A   é   1 .
  2. Seja A = 1 a 0 1 0 0 b 0 0 0 1 0 1 c 0 1 . Se a ∙ b ∙ c = 1 , então A não é inversível.

Passo 1

a)

Quando o determinante de uma matriz não é igual a zero, nosso caso: det ⁡ A = 2 , o conjunto das linhas é L I   assim como conjunto das colunas.

Opa, falou do conjuntos das colunas?? Tamo falando da base da imagem então! Sabemos que ela é composta por 3 vetores, então a dimensão da imagem vai ser igual a 3.

Pelo teorema núcleo imagem, conseguimos achar a nulidade, ou dimensão do núcleo:

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

Sendo n   o número de colunas, temos:

dim ⁡ N u c A + 3 = 3

dim ⁡ N u c A = 0

Assim, a afirmativa é falsa

Passo 2

b)

Para ser inversível é preciso que o determinante seja diferente de zero. Vamos tentar calcular isso aí:

A = 1 a 0 1 0 0 b 0 0 0 1 0 1 c 0 1

Como a matriz tem muitos zeros, vamos usar o Teorema de Laplace. Como todas as linhas e colunas tem a mesma quantidade de zeros, posso escolher a que eu quiser! Vou usar a primeira coluna:

det ⁡ A = 1 × - 1 1 + 1 1 b 0 0 1 c 0 0 1 + 1 × - 1 4 + 1 a 0 0 1 b 0 0 1 c

det ⁡ A = 1 × 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 - 1 × a b c + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1 - a b c

Como a ∙ b ∙ c = 1 ,   vamos ficar com 1 - 1 = 0 .   Assim, o determinante dessa matriz é 0 e ela não é inversível.

Resposta

a)Falsa

b)Verdadeira

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