Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Sejam n um inteiro positivo, A uma matriz real n × n   e Y uma matriz real n × 1 . Considere o sistema linear A X = Y y , em que a matriuz de incógnitas reais X é n × 1 . Pode-se afirmar que:

  1. Se o sistema possui solução, então det ⁡ A = 0
  2. Se o sistema não possui solução, então det ⁡ A = 0  
  3. Se o sistema possui solução, então det ⁡ A ≠ 0  
  4. Se det ⁡ A = 0 , o sistema possui solução
  5. Se det ⁡ A = 0 ,   então o sistema possui infinitas soluções .

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

Nesse exercício temos um sistema linear dado por:

A X = Y

onde A ,   X e Y são matrizes, beleza? Basicamente, nas alternativas são feitas algumas afirmações sobre a solução desse sistema e devemos verificar qual delas é verdadeira.

Para resolver um sistema, podemos fazer uso da regra de cramer, certo? Quais são os teoremas então que a regra de crramer fornece pra gente:

As suas soluções, são do tipo:

x = D x D ,     y = D y D ,     z = D z D

Onde D i é o determinante com respeito ao índice, e D o da matriz total. Logo se D = 0 , ou seja, determinante nulo nos impõe que o sistema não possui solução.

Massa! No nosso sistema, D é justamente o determinante da matriz A . Ou seja:

D = d e t ⁡ ( A )

Com isso já em mão, temos conhecimento para matar essa questão.

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Para o item a):

Contradiz o que demonstramos anteriormente. O item a) é falso.

Para o item b):

O item b) é necessariamente verdade segundo a regram de cramer. O item b) é verdadeiro.

Para o item c):

Não necessariamente, o sistema pode ter det ⁡ A ≠ 0 e ter infinitas soluções possíveis. O item c) é falso

Para o item d):

Similar ao item c. o item d) é falso.

Para o item e):

Se o sistema possui d e t A = 0 , pode ter nenhuma solução ou infinitas soluções. O tem e) é falso

Passo 3

Assim, só nos restou o item b) de verdadeiro, né?

Assim a resposta é a letra b)

Resposta

Letra b)

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