Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Sejam n um inteiro maior ou igual a 3 e A uma matriz real n × n . Considere as seguintes afirmações:

1. Se o determinante de A é nulo, então existe uma linha de A que é igual ao produto de alguma outra linha de A por um número real

2. Se existe uma matriz real n × 1 não nula B tal que A B = 0 , então A tem o determinante nulo

3. Se existe uma matriz real n × n não nula B tal que o produto A B não é inversível, então A tem determinante nulo

a) Apenas 1 e 2 são verdadeiras

b) Apenas 1 e 3 são verdadeiras

c) Apenas 1 é verdadeira

d) Apenas 2 e 3 são verdadeiras

e) Apenas 2 é verdadeira

f) 1, 2 e 3 são verdadeiras

g) 1, 2 e 3 são falsas

h) Apenas 3 é verdadeira

Passo 1

Oii pessoal, vamos lá pra mais uma?

Nesse exercício, temos 3 afirmações que envolvem determinantes, e aí queremos saber qual/quais dessas afirmações são verdadeiras

Bom, não tem muito jeito, vamos ter que ver uma por uma hahaha mas vamos lá que vai ser bem mais simples do que parece 😊

Passo 2

Vamos começar pela primeira afirmação, que diz que “Se o determinante de A é nulo, então existe uma linha de A que é igual ao produto de alguma outra linha de A por um número real”

O que ele ta falando é que se a gente tiver alguma matriz qualquer que o determinante vale 0 , com certeza alguma linha dela é múltipla de outra

Bemm, nem sempre isso vai acontecer, por exemplo, olha essa matriz:

1 0 0 0 1 0 1 1 0

O determinante dela vale 0 , mas não tem nenhuma linha que é múltipla de outra. O que acontece nesse caso é que a gente pode escrever uma linha como combinação linear DAS OUTRAS DUAS.

Então a afirmação 1 é falsa 😉

Passo 3

A afirmação 2 fala que “Se existe uma matriz real n × 1 não nula B tal que A B = 0 , então A tem o determinante nulo”

Vamos pensar galera, a matriz B tem n linhas e 1 coluna:

B = b 11 b 21 ⋮ b n 1

E sabemos que

A B = 0

Então

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n b 11 b 21 ⋮ b n 1 = 0 0 ⋮ 0

Então B = b 11 b 21 ⋮ b n 1 é uma solução desse sistema:

a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∙ X = 0

Que tem como solução trivial X = 0 0 ⋮ 0

Bom, mas se B é uma solução além da solução trivial, então esse sistema tem mais de uma solução D:

Se ele tem mais de uma solução, ele é um sistema possível indeterminado! Ta acompanhando?

Em um sistema indeterminado, com certeza o determinante é nulo. Portanto A forma um sistema indeterminado e por isso tem determinante nulo mesmo 😉

A afirmação 2 é verdadeira!

Passo 4

Por fim, a afirmação 3 fala que “Se existe uma matriz real n × n não nula B tal que o produto A B não é inversível, então A tem determinante nulo”

Primeiro vamos lembrar que dizer que o determinante é nulo, significa dizer que o determinante vale 0. Então, escrevendo em outras palavras, essa afirmação ta falando que se d e t ⁡ ( A B ) = 0 , para B não nula, então det ⁡ A = 0

Mas galera, isso é falso! E vamos provar com um contraexemplo

Vamos imaginar que B é essa matriz:

B = 0 0 0 0 0 0 0 1 0

E A como a matriz identidade:

A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → det ⁡ ( A ) = 1

Multiplicando as duas matrizes:

A . B = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 → det ⁡ A B = 0

Masss, a matriz A é a matriz identidade, onde o determinante vale 1 ≠ 0

Logo, realmente a afirmação é falsa

Então, apenas a afirmação 2 é verdadeira, e a alternativa correta é a letra E

Resposta

e) Apenas 2 é verdadeira

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