Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a afirmativa for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo.

c) Se A = 1 0 0 0 k 5 2 k - 1 k , então A é invertível seja qual for k ∈ R .

d) Se B =   1 0 0 0 k 5 2 k - 1 k           1 π 2 3 3 - 5 , então B tem nutilidade 2 seja qual for k ∈ R .

Passo 1

c)

Uma boa forma de checar se a matriz é invertível é calculando o determinante, caso seja nulo, não terá inversa. Caso não seja nulo terá.

Vamos pôr a mão na massa então:

D E T A = 1 0 0 0 k 5 2 k - 1 k = k 2 + 5

Repare que para nenhum k esse determinante será nulo, por k ² e 5 são positivos.

Logo a matriz A é invertível para todo k .

Passo 2

d)

Repara que essa matriz B é a matriz A com mais duas colunas. Só que acabamos de ver que o determinante de A é sempre diferente de zero, ou seja, suas colunas são LI.

Então independente de k essa matriz terá o R 3 todo como imagem. As colunas adicionadas serão LD. Pelo teorema núcleo-imagem: D i m ( I m B + D i m ( N B = 5

3 + D i m N B = 5 D i m N B = 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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