Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas.

  1. Se A é invertível então det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A
  2. Se A e B são matrizes quadradas e A B é invertível, então A é invertível.

a   I é verdadeira e I I é falsa

b   Ambas são verdadeiras

c   I é falsa e I I é verdadeira

d   Ambas são falsas

Passo 1

Afirmativa I :

Essa é uma das propriedades dos determinantes que vimos na teoria, o determinante da inversa é de fato o inverso do determinante.

Afirmativa I I :

Também vimos que o determinante do produto é igual ao produto dos determinantes. E sabemos que se uma matriz é invertível, seu determinante é diferente de zero! Logo:

e x i s t e   A B - 1 ⇒ det ⁡ A B ≠ 0 ⇒ det ⁡ A ∙ det ⁡ B ≠ 0 ⇒ det ⁡ A ≠ 0 ⇒ e x i s t e   A - 1 det ⁡ B ≠ 0 ⇒ e x i s t e   B - 1

Essa também é verdadeira! Tanto A quanto B são invertíveis.

Resposta

Letra ( b )

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