Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere as afirmativas abaixo:

  1. Se A é invertível então det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A .
  2. Se A e B são matrizes quadradas e A B é invertível, então det ⁡ A ≠ 0 .
  1. Ambas são verdadeiras
  2. Ambas são falsas
  3. I é falsa II é verdadeira
  4. I é verdadeira e II é falsa

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, vamos verificar cada uma dessas alternativas pra ver se elas são isso tudo mesmo. Saca só, na primeira ele diz que se A é invertível, então:

det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A

Irado, mas a gente sabe que:

det ⁡ I = 1

Onde I é a matriz identidade. MAAASS a gente também sabe que:

A A - 1 = I

Logo

det ⁡ I = det ⁡ A A - 1 = 1

E aplicando a propriedade do produto de matrizes dentro do determinante, temos que:

det ⁡ A A - 1 = det ⁡ A det ⁡ A - 1

det ⁡ A det ⁡ A - 1 = 1

Então passando o det ⁡ A dividindo para o outro lado:

det ⁡ A - 1 = 1 det ⁡ A

Portanto a relação realmente existe, a não ser que det ⁡ A = 0 . Mas quando o enunciado diz que a matriz A é invertível, ele garante que det ⁡ A ≠ 0 , já que para inverter uma matriz o determinante não pode ser nulo.

Passo 2

Belezoca, agora na afirmativa II, ele diz que se A e B são matrizes quadradas e A B é invertível, então det ⁡ A ≠ 0 .

Show de bolinhas, vimos no Passo 1, que se uma matriz é invertível, seu determinante é diferente de 0 , logo:

det ⁡ A B ≠ 0

Tudo jóinha, então aplicando a propriedade do produto de matrizes dentro do determinante, temos que:

det ⁡ A B = det ⁡ A det ⁡ B

det ⁡ A det ⁡ B ≠ 0

Então, se por acaso det ⁡ A = 0 , teríamos:

det ⁡ A B = det ⁡ A det ⁡ B = 0 det ⁡ B

det ⁡ A B = 0 det ⁡ B

det ⁡ A B = 0

O que é IMPOSSÍVEL já que o enunciado garantiu que esse determinante era diferente de 0 . Portanto, det ⁡ A ≠ 0 .

Resposta certa, letra (a) ambas verdadeiras.

Resposta

Letra (a).

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