Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere as matrizes A , 3 × 3   e B ,   4 × 4 , onde A = A 1 A 2 A 3 , A i é a i-ésima coluna de A , e B = B 1 B 2 B 3 B 4 , ambas com determinantes positivos:

  1. det ⁡ A 3 A 2 A 1 é negativo
  2. det ⁡ B 4 B 3 B 2 B 1 é negativo
  1. I é verdadeira e II é falsa
  2. Ambas são falsas
  3. Ambas são verdadeiras
  4. I é falsa e II é verdadeira

Passo 1

Show de bolinhas galerinha, sabemos que se a gente tem por exemplo a matriz C , tal que:

det ⁡ C = k

Se por acaso a gente permutar uma linha, ou uma coluna, sempre SEMPRE SEMPRE trocamos o sinal do determinante. Então seja C ' a matriz que permutou uma vez, temos que:

det ⁡ C ' = - k

Se a gente permutar mais uma vez, vamos ter que:

det ⁡ C ' ' = - - k

det ⁡ C ' ' = k

Passo 2

Iradoso, agora que a gente lembrou disso, podemos olhar nossas afirmativas. Na (I), ele diz que det ⁡ A 3 A 2 A 1 , mas a gente sabe apenas que o determinante de A 1 A 2 A 3 é positivo, tal que:

det ⁡ A 1 A 2 A 3   > 0

Só que   A 3 A 2 A 1 , possui exatamente as colunas da primeira matriz. A não ser que a primeira e terceira coluna estão trocadas:

A 1 A 2 A 3 → A 3 ⇔ A 1 → A 3 A 2 A 1

E como realizamos apenas 1 troca, trocamos o sinal do determinante apenas 1 uma vez, tal que:

det ⁡ A 3 A 2 A 1 = - det ⁡ A 1 A 2 A 3

Portanto, det ⁡ A 3 A 2 A 1 de fato é negativo. Afirmativa verdadeira!

Passo 3

Já na afirmativa (II) temos a matriz B 4 B 3 B 2 B 1 . E sabemos apenas que

det ⁡ B 1 B 2 B 3 B 4 > 0

Só que agora, vamos precisar fazer 2 permutações, saca só:

B 1 B 2 B 3 B 4 → B 3 ⇔ B 2 → B 1 B 3 B 2 B 4

B 1 B 3 B 2 B 4 → B 3 ⇔ B 2 → B 4 B 3 B 2 B 1

Portanto, o sinal do determinante vai trocar 2 vezes, tal que:

det ⁡ B 4 B 3 B 2 B 1 = - - det ⁡ B 1 B 2 B 3 B 4

det ⁡ B 4 B 3 B 2 B 1 = det ⁡ B 1 B 2 B 3 B 4

E como esse determinante é positivo, temos que nossa afirmativa II é falsa. Resposta certa, letra (a).

Resposta

Letra (a).

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