Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Calcule o determinante de M - 1 , se

M = 4 11 - 7 - 1 - 3 - 2 2 1 0 3 2 7 0 0 - 2 0 3 0 0 0 3 - 1 6 0 5

Passo 1

Pô, que droga... inverter matriz 5 × 5 é o fim do mundo! E ainda calcular o determinante depois? Putz!

A minha sorte é que eu sei que eu não preciso inverter a matriz, pois det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M .

O primeiro passo é você se lembrar disso!

Passo 2

Como a matriz tem muitos zeros, vamos usar o teorema de Laplace para calcular.

Podemos escolher a 4 ª linha ou a 4 ª coluna, pois ambas tem 4 zeros.

Vamos usar a 4 ª linha, então.

O único cofator que precisamos calcular é o do elemento m 42 = 3 .

Fica assim:

Δ 42 = - 1 4 + 2   4 - 7 - 1 - 3 - 2 1 0 3 2 0 0 - 2 3 6 0 5 = + 4 - 7 - 1 - 3 - 2 1 0 3 2 0 0 - 2 3 6 0 5

Então temos:

det ⁡ M = 3 Δ 42

Agora falta calcular o menor principal, que é esse determinante 4 × 4 .

Passo 3

Esse determinante 4 × 4 também possui muitos zeros, então podemos aplicar Laplace nele.

A fila com mais zeros é a terceira coluna:

Nessa coluna só precisaremos calcular o cofator do - 1 , pois o resto é zero:

Δ 13 = - 1 1 + 3 - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5 = + - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5

O valor do determinante 4 × 4 é o seu cofator multiplicado pelo elemento - 1 , então o determinante de M fica:

det ⁡ M = 3 Δ 42 = 3 × - 1 × - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5 = - 3 - 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5

Passo 4

Agora falta só calcular esse determinante 3 × 3 . Você pode calculá-lo como quiser, mas vou usar a regra de Sarrus:

- 2 1 3 2 0 - 2 3 6 5 - 2 1 2 0 3 6 = + 0 + - 6 + 36 - 0 - 24 - 10 = - 4

Aí fica:

det ⁡ M = - 3 × - 4 = 12

Passo 5

Só que não queremos saber o determinante de M , e sim o de sua inversa!

Aí é usar a relação do passo 1 :

det ⁡ M - 1 = 1 det ⁡ M = 1 12

Resposta

det ⁡ M - 1 = 1 12

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