Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Considere uma matriz ortogonal A , n × n ; isto é, uma matriz onde o conjunto de suas solunas é ORTONORMAL. Assinale abaixo um valor possível para det ⁡ A :

  1. - 2
  2. 0
  3. - 1
  4. 3 n

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, o enunciado disse pra gente que nossa matriz é ortogonal, e isso é interessante porque essas matrizes possuem a característica de que suas inversas são iguais a suas transpostas, isto é:

A T = A - 1

Então temos que:

A A - 1 = I

A A T = I

E o determinante da matriz identidade é igual a 1 , logo:

det ⁡ I = 1

det ⁡ A A T = 1

Passo 2

Belezoca, a gente pode abrir esse determinante, de acordo com a propriedade, temos que:

det ⁡ A A T = det ⁡ A det ⁡ A T

det ⁡ A det ⁡ A T = 1

Só que a malandragem aqui é que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz, isto é:

det ⁡ A = det ⁡ A T

Tal que:

det ⁡ A det ⁡ A T = 1

det ⁡ A det ⁡ A = 1

det ⁡ A 2 = 1

det ⁡ A = 1

det ⁡ A = ± 1

Portanto a resposta certa é a letra (c).

Resposta

Letra (c).

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