Exercícios Resolvidos de Propriedades dos Determinantes

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Enunciado

Seja A uma matriz n × n . Assinale a alternativa FALSA:

a   det ⁡ ( 3 A ) = 3 n det ⁡ A

b   det ⁡ ( A T ) = det ⁡ A

c   Se as linhas da matriz são linearmente dependentes, então det ⁡ A = 0

d   det ⁡ ( A + B ) = det ⁡ A + det ⁡ B

Passo 1

Considera aí uma matriz quadrada A n × n .

Se eu multiplico uma linha por 3 , sabemos que o determinante dessa nova matriz é 3 det ⁡ A .

Se eu multiplicar mais uma linha por 3 , o determinante vai ser o da matriz anterior multiplicado por 3 , ou seja, 3 × 3 det ⁡ A .

Se eu multiplicar mais outra linha por 3 , então o determinante da anterior vai ficar multiplicado por 3 , e vai ser igual a 3 × 3 × 3 × det ⁡ A .

Enfim, se no fim das contas eu tiver multiplicado todas as n linhas da matriz por 3 , eu terei obtido a matriz 3 A , e o determinante dela vai ser:

det ⁡ ( 3 A ) = 3 × 3 × … × 3 ⏟ n   v e z e s det ⁡ A

det ⁡ ( 3 A ) = 3 n det ⁡ A

A ( a ) é verdadeira.

Passo 2

Essa propriedade da ( b ) nós já vimos!

De fato, det ⁡ A = det ⁡ A T , tem nem o que discutir.

Passo 3

Igualmente, não é novidade para nós que se as linhas de uma matriz forem L D então seu determinante é zero, a ( c ) também tá certa.

Passo 4

Por último, não podemos afirmar nada sobre a soma dos determinantes.

Um contraexemplo:

1 1 2 3 + 1 0 0 0 = 2 1 2 3

A primeira matriz tem determinante igual a 1 , a segunda tem determinante igual a 0 .

Mas a terceira matriz não tem determinante igual a 1 + 0 = 1 , seu determinante é 3 × 2 - 2 × 1 = 6 - 2 = 4 . ;)

Resposta

Letra ( d )

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